LYCEE SCIENTIFIQUE
YAMOUSSOUKRO

ANNEE SCOLAIRE :2009- 2010
Durée : 1 heure 45

MATHEMATIQUES
SERIE : C
EXERCICE 1 (13 points )
On considère le triangle ABC rectangle et isocèle en A tel que AC = a . Soit O le milieu de [BC], G le barycentre du système { (A ; – 1), (B ; 1), (C ; 1) } et H le barycentre du système {(A, − 2);(B,3); (C, 3)} .
1) a- Démontrer que ABGC est un carré. b- Construire G.
2) a- Construire le point H. b- Justifier que G appartient à la médiatrice de [BC].
3
3) Montrer que : AH = AG.
4
4) a- Démontrer que GA 2 = 2a 2 . b- Déterminer et construire l’ensemble ( Γ ) des points M du plan tels que MB2 + MC 2 − MA 2 = a 2 .
5) a- Démontrer que 2MA 2 − MB2 − MC 2 = − 4OM.OA . b- Soit l’ensemble ( Δ ) des points M du plan tels que : 2 MA 2 − MB2 − MC2 = a 2 .
Montrer que H ∈ ( ∆ ). c- En déduire et construire l’ensemble ( Δ ).

EXERCICE 2

(7 points)

Considérons la fonction f définie par f ( x ) =

x + 1 − x et ( C ) sa représentation graphique.

1) Calculer lim f ( x ) . x→+∞ 2) a) f est-elle dérivable en −1 ?
b) ( C ) admet –elle une tangente au point d’abscisse −1 ? Si oui, laquelle ?
3) On suppose que f est dérivable sur ]−1 ; +∞[ . a- Montrer que f '( x ) =

1 − 2

x +1

.
2 x +1 b- En déduire le tableau de variation de f. c- Déterminer une équation de la tangente (D) au point d’abscisse 0.

4) a- Montrer que f est une bijection vers un intervalle que l’on précisera. b- f −1 est-elle dérivable en 1 ?Si oui, calculer (f −1 ) '(1) .

a- Montrer que l’équation f ( x ) = 0 admet une solution unique α ∈ [ 0; +∞[ . b- Déterminer un encadrement de α deux décimaux consécutifs d’ordre 1.

Barème
EXERCICE 1 (13 points )
1) a- 1,5pt b- 0,5pt
2) a- 1pt. b- 1pt.
3) 1,5pt
4) a- 1pt b- 2pt+0,5pt
5) a- 1,5pt b- 1pt c- 1pt+0,5pt.

EXERCICE 2

(7 points)

1) 1pt
2)
a- 1pt. b- 1pt+0,5pt. c- 1pt.
3) a- 1,5pt b- 1pt.

Exercice 2
1) lim f (x) = lim x →+∞

x →+∞

x +1 − x

1 x(1 + ) − ( x )2 x →+∞ x 1
= lim x (1 + ) − ( x ) 2 x →+∞ x 1
= lim x ( (1 + ) − x ) x →+∞
x