MPSI 1

Devoir 2 Pr´eparation

Exercice 1 On admet que tout polynˆ ome Q unitaire de degr´e 3 ` a coefficients dans C admet une d´ecomposition de la forme
(X − α)(X − β)(X − γ) o` u α, β, γ sont trois complexes.
Ces complexes ´eventuellement confondus sont donc les racines de Q
Soient p et q deux complexes. On consid`ere pour tout l’exercice le polynˆ ome P = X 3 + pX + q
On note α, β, γ, ses trois racines On d´efinit les deux complexes u = α + βj + γj 2 v = α + βj 2 + γj
1. Montrez les relations coefficients racines: α+β+γ =0 αβ + αγ + βγ = p αβγ = −q
2. D´eterminer l’expression de α, β et γ en fonction de u et de v
3. Montrer que u3 + v 3 = −27q

uv = −3p

4. En d´eduire un polynˆ ome de degr´e 2 dont u3 et v 3 sont les racines et exprimer ses racines en fonction de p, q et de δ, une racine carr´ee de 4p3 + 27q 2
5. A l’aide de l’expression trouv´ee ` a la question 2, montrer que tous les choix possibles de couples (u, v) v´erifiant les conditions de la question 3 d´eterminent le mˆeme ensemble de racines de P . Conclure
6. On suppose ici p et q r´eels. Discuter du nombre de r´eels parmi les trois racines α, β, γ de P .
7. (Application num´erique) R´esoudre dans C, l’´equation x3 − 5x2 + 19x + 25 = 0
(On commencera par se ramener ` a une ´equation polynˆ omiale sans terme de degr´e 2 en posant x = y + a, avec a un r´eel bien choisi)
Exercice 2 Pour tout complexe z on d´efinit: eiz + e−iz
2
eiz − e−iz sin z =
2i

cos z =

MPSI 1

Devoir 2 Pr´eparation

1. Pour tout complexe z, calculer cos2 z + sin2 z.
2. On consid`ere l’´equation (A) : cos z + sin z = 2.
(a. ) On pose Z = eiz .
Montrer que z est solution de (A) si et seulement si Z est solution de (B), o` u: (B)

Z 2 − 2(1 + i)Z + i = 0.

(b. ) R´esoudre (B). Donner les racines de (B) sous forme trigonom´etrique.
(c. ) D´eterminer parmi les solutions de (A) le complexe z0 (que l’on mettra sous forme alg´ebrique) dont le module est minimum.
3. Soit (C) l’´equation : cos3 z + sin3 z = −1.
(a. ) Former l’´equation