TS Contrôle commun de Mathématiques 14/02/13
EXERCICE 1 (5 points)
Soit f la fonction définie pour par : .
1. a. Démontrer que, pour tout x > , . b. On définit la suite (un) par : , pour tout entier naturel n. Démontrer que pour tout entier naturel n, .
2. On se propose, dans la suite de l’exercice, d’exprimer un en fonction de n. On considère les suites v = (vn) et w = (wn) telles que, pour tout entier naturel n, et (ln désigne le logarithme népérien). a. Vérifier que pour tout entier naturel n, . b. Démontrer que la suite w est une suite géométrique. c. Exprimer, pour tout entier naturel n, wn puis vn en fonction de n et en déduire que :

En déduire la limite de la suite u.
EXERCICE 2 (5 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; ,) d’unité graphique 2 cm.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives , et .
1. Placer ces points sur un dessin. On complétera la figure dans la suite de l’exercice.
2. a. Vérifier que : . b. En déduire la nature du triangle ABC. c. Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercle .
3. a. Etablir que l’ensemble des points M d’affixe z qui vérifient : est un cercle de centre Ω d’affixe 2. Préciser son rayon. Construire . b. Vérifier que les points A et B appartiennent à .
4. On appelle r la rotation de centre A et d’angle . a. Quelles sont les images des points A et B par la rotation r ? Construire l’image D du point C par la rotation r puis calculer son affixe. b. Déterminer l’image du cercle par la rotation r.
5. Soit l’image du cercle par la rotation r. a. Montrer que est un cercle de centre le point I d’affixe . Quel est son rayon ? b. Construire le cercle. Montrer qu’il passe par les points A, C, D et O.
6. a. Calculer le nombre complexe .
EXERCICE 3 (5 points)
On considère la fonction f définie sur  par f (x) = 1+ e−x − 2e−2x et  sa courbe