Devoir maths
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Devoir de math´ ematiques no 12 - 1` ereS 21 mai 2013 - 2 hExercice 1
(7 pts)
1. La suite (un ) est d´efinie pour tout entier naturel n par un = n2 − 3n + 2 est-elle arithm´etique ?
2. (un ) est une suite arithm´etique de premier terme u1 et de raison r telle que u12 = 25 et u20 = 49.
Exprimer un en fonction de n puis calculer u1 + u2 + ....... + u30 .
3. (un ) est une suite g´eom´etrique de raison q = 0, 4 et de premier terme u0 = −3.
Etudier les variations de la suite (un ).
4. Calculer 1 + 2 + 4 + 8 + 16 · · · + 16384 + 32768 en utilisant une suite g´eom´etrique, dont on pr´ecisera la raison et le premier terme.
5. La suite (un ) est d´efinie pour tout entier naturel n par un = n3 − 2n2 + 5n − 3.
Etudier les variations de (un ).
6. La suite (un ) est d´efinie pour tout entier naturel n ≥ 1 par la relation un+1 =
2un et u1 = 2. n On admettra que pour tout entier naturel n ≥ 1, un > 0.
Etudier les variations de la suite (un ).
En d´eduire, en utilisant la calculatrice, le plus petit entier naturel n ≥ 3 tel que un < 10−10 .
Exercice 2
(7 pts)
Une personne loue une maison ` a partir du 1 janvier 2000. Elle a le choix entre deux formules de contrat.
Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de 3600 e et le locataire s’engage `a occuper la maison pendant neuf ann´ees compl`etes.
1. Contrat 1 :
Le locataire accepte une augmentation annuelle de 6 % du loyer de l’ann´ee pr´ec´edente.
On note un le loyer annuel pour l’ann´ee 2000 + n.
(a) Que vaut u0 ? Calculer u1 et u2 .
(b) Quelle est la nature de la suite (un ) ? Justifier la r´eponse.
(c) Exprimer un en fonction de n. Calculer u6 (arrondir le r´esultat `a l’unit´e) ; que repr´esente ce r´esultat ?
(d) Soit Gn la somme pay´ee ` a l’issue de (n + 1) ann´ees de contrat. Exprimer Gn en fonction de n.
2. Contrat 2 :
Le locataire accepte une augmentation annuelle constante de 300 e du loyer de l’ann´ee pr´ec´edente.
On note vn le loyer annuel pour l’ann´ee 2000 + n.
(a) Que vaut v0 ? Calculer v1 et v2 .
(b)