Devoir de math´ ematiques no 3 - 1` ereS 9 novembre 2011 - 2h
Exercice 1

(5,5 pts)

Dans un rep`ere orthonorm´e, on donne la droite (d) d’´equation 2x − 3y + 6 = 0, le point A(1; 7)
−
et le vecteur → v (2; −3).
−
1. Dans ce rep`ere, tracer (d), placer A et construire →
v.
−
2. Donner les coordonn´ees d’un vecteur → u directeur de (d).
1−
−
−
−
v.
3. Construire le vecteur → w (laisser les traces de la construction) d´efini par → w = 2→ u − →
2
→
−
Calculer ensuite les coordonn´ees de w .
−
−
4. → v et → w sont-ils colin´eaires ?
−
5. D´eterminer une ´equation cart´esienne de la droite (d ) passant par A et de vecteur directeur → v , puis la tracer.
6. D´eterminer les coordonn´ees du point d’intersection de (d) et (d ).
7. D´eterminer une ´equation cart´esienne de la droite (d ) parall`ele `a (d) passant par A puis tracer (d ).

Exercice 2

(4,5 pts)

On donne trois carr´es ABGH, BCFG et CDEF.
I est le milieu de [AG], et J est le point d’intersection de (AE) et (BG).
Montrer que C, I et J sont align´es.

Exercice 3

(4 pts)

Le plan est muni d’un rep`ere orthogonal.
On consid`ere l’ensemble Dm des points M (x; y) dont les coordonn´ees v´erifient la relation mx + (2m − 1)y + 4 = 0 avec m r´eel.
1. Montrer que l’ensemble Dm est une droite.
2. Pour quelles valeurs de m Dm est-elle parall`ele `a l’un des axes du rep`ere ?
3. Donner une ´equation des droites D0 et D1 puis d´eterminer les coordonn´ees de leur point d’intersection.
4. Montrer que Dm passe par un point fixe quelque soit la valeur du r´eel m.

Exercice 4

(6 pts)

On consid`ere le triangle ABC donn´e en annexe. On compl`etera la figure au fur et `a mesure.
−→
−−→ →
−→ 2 −−→
−
1. Soit G le point d´efini par AG = AB : montrer que GA + 2GB = 0 .
3
−−→
−−→ →
−−→ 3 −−→
−
2. Soit H le point tel que 2HB + 3HC = 0 : montrer que BH = BC.
5
−−→
−−→ →
−−→
−→
−
3. Soit K le point tel que KA + 3KC = 0 : exprimer AK en fonction de AC
−→
−→
−→ →
−
4. Soit L le point tel que LA + 2LB + 3LC = 0 .
−→ 1 −−→ 1 −→
(a) Montrer