Devoir surveillé ts exponentielle
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Classe de terminale 10Jeudi 26 novembre 2009 Devoir de mathématiques n°3
Exercice 1 (exponentielle, bac S, Antilles Guyane, juin 2008, 8 points) Soit la fonction définie sur R par = −3 . 1. 2. 3. 4. Démontrer que l’on a pour tout : =3 − . Déterminer la limite de en +∞ puis la limite de et −∞. Calculer la dérivée de et étudier les variations de . Calculer 1 . Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe de des axes du repère. 5. Tracer l’allure de la courbe de . 6. Démontrer que est solution de l’équation différentielle + 2 = 3 .
et
Exercice 2 (primitives, 4 points) Les questions sont indépendantes. 1. Déterminer les constantes réelles , , pour que la fonction = + + soit une primitive de la fonction ∶ → 2. Déterminer la primitive de la fonction définie par = 3. Déterminer les primitives de la fonction ℎ définie sur 0 ; +∞ par ℎ 4. Déterminer une primitive de la fonction définie sur − , +∞ par = 0.
définie sur R par . qui s’annule pour = = . .
Exercice 3 (fonction exponentielle, limites, continuité, dérivabilité, suites, 8 points) 1. Restitution organisée de connaissances : On rappelle que la fonction exponentielle est la solution de l’équation différentielle = telle que exp 0 = 1, que pour tout réel , exp > 0 et que l’exponentielle est strictement croissante sur R. On pourra noter indifféremment exp ou l’exponentielle. En utilisant ces résultats, démontrer les propriétés suivantes : a. lim → = 1. b. Pour tout réel , exp ≥ +1
On appelle la fonction définie sur R par = si ≠ 0, et 0 = −1 2. A l’aide de la question 1, démontrer que est continue en 0. 3. Démontrer que l’on a pour tout 4. On admet que lim
→
≠0:
=
. peut-on en déduire ?
= . Quelle information sur la fonction
5. Etudier la limite de en +∞. Démontrer que l’on a, pour tout ≠ 0, = et en déduire la limite de en −∞. 6. A l’aide de la question 1, étudier le signe de ′ et dresser le tableau de variation de . 7. Soit un entier strictement positif. Démontrer