Devoir maison n°6 - Corrigé
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x )=x ex−1 et C f sa courbe représentative. 1) Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.
Par croissances comparées, lim x→−∞ xe x=0 donc, par somme, lim x→−∞ f ( x)=−1 .
On a lim x→+∞ ex=+∞ donc, par produit et par somme, lim x→+∞ f ( x)=+∞ .
2) Dresser le tableau de variations de f sur ℝ .
La fonction f est dérivable sur ℝ comme produit et somme de fonctions dérivables sur ℝ . Pour tout …afficher plus de contenu…

x −∞ −1 +∞ f ' ( x) - 0 + f −1
−1−
1 e +∞ f (−1)=−e−1
−1=−1−
1 e ≈−1,37
3) En déduire le nombre de solutions de l'équation f (x )=0 dans ℝ .
Sur [−1 ;+∞[ , f est continue et strictement croissante.
De plus, 0∈[−1−
1
e
;+∞[ .
Donc l'équation f (x )=0 admet une unique solution dans l'intervalle [−1 ;+∞[ .
Sur ]−∞ ;−1 ] , 0∉[−1−
1
e
;−1[ donc l'équation f (x )=0 n'admet pas de solution dans l'intervalle. ]−∞ ;−1 ] .
En résumé, l'équation f (x )=0 admet une unique solution dans ℝ .4) On note α la solution de l'équation f (x )=0 . Déterminer une valeur approchée de α à 10−3 près.
A la calculatrice, on obtient α≈0,567 .
5) Algorithme de …afficher plus de contenu…

S'aider du tableau 1 (annexe) en le complétant. Interpréter le résultat. a 0 0,5 0,5625 b 1 0,75 0,625 0,59375 0,578125 0,5703125 m 0,5 0,75 0,625 0,5625 0,59375 0,578125 0,5703125 n 0 1 2 3 4 5 6 7 b−a>0,01 vrai vrai vrai vrai vrai vrai vrai faux f (a )∗ f (m) > 0 < 0 < 0 > 0 < 0 < 0 < 0
L'algorithme 1 renvoie n=7 . Cela signifie que qu'au bout de 7 étapes, la solution α de l'équation f (x )=0 sera encadrée avec une amplitude inférieure à
0,01 .
6) Algorithme de Newton-Raphson.On trace la tangente à C f au point d'abscisse x0 . Cette tangente coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse x1 . On réitère le procédé en considérant la tangente à C f au point d'abscisse x1 . Cette tangente coupe l'axe des