Méthode des Différences Finis chapitre 1

2

Marc BUFFAT, UFR Mécanique, UCBLyon

– équation de conservation de l’énergie :

1.2.1 Problème physique : conduction dans une barre

1.2 Étude de l’équation de la chaleur

∂ 2u
∂u
=κ 2
∂t
∂x

– application à un problème classique : équation de la chaleur

1. Mise en équation du problème physique
2. Recherche d’une solution de référence permettant de valider la modélisation numérique
3. Discrétisation du problème
4. Analyse des propriétés de la solution numérique
5. Validations

– Démarche du calcul scientifique :

1.1 Introduction

Une première approche

Chapitre 1

3

′′

(1.5)

f (t) = c1 eβ κ t

2 t)

[A cos(ω x) + B sin(ω x)]

Marc BUFFAT, UFR Mécanique, UCBLyon

– Conditions aux limites ⇒ A = 0 , ω L = nπ

u(x,t) = e−(κω

(1.7)

(1.6)

′′

g (x) − β g(t) = 0

′

(1.4)

(1.3)

(1.2)

(1.1)

4

f (t) − β κ f (t) = 0

– Solution fonction du signe de β
Solution physique ⇒ constante β < 0

– En intégrant (1.5) :

soit :

′

f (t)g(x) = κ f (t)g (x) = cste = β

– équations résultantes

– solution à variables séparées u(x,t) = f (t)g(x)

– problème sans condition initiale fixée :

2
 ∂ u = κ ∂ xu
∂t
∂ 2
′
(P1 ) u(0,t) = 0

u(L,t) = 0

Méthode de séparation de variables

1.2.3 Recherche d’une solution analytique

– écart par rapport à la solution stationnaire u = T − T0

2
 ∂ u = κ ∂ xu pour x ∈ [0, L]
∂t
∂ 2
(P1) u(0,t) = u(L,t) = 0 pour t > 0

u(x, 0) = C(x) pour x ∈ [0, L]

1.2.2 Problème modèle homogène

ρCpS

∂T
∂ 2T
− λ S 2 = 0 pour x ∈ [0, L]
∂t
∂x
– conditions aux limites T (0,t) = T0 , T (L,t) = T0 ,
– condition initiale T (x,t) = Ti (x).

1.2. ÉTUDE DE L’ÉQUATION DE LA CHALEUR

′

u(x,t) =

∞

∞

n=1

n=1

∑ un(x,t) = ∑ Cn e−κ ( L ) t sin

nπ 2

nπ x un (x,t) = Cn e−κ ( ) sin
L

nπ 2 t
L

– Les solutions générales de (P1 ) s’écrivent :

– Solution