Dissert
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Devoir Maison n°3 – A rendre pour le lundi 7 novembre 2011 Exercice 1 : L'éternel problème de rangement Un fabricant de gommes en plastique expédie ses gommes en les rangeant en une seule couche dans de petits cartons d'emballage de périmètre p = 22 cm, de largeur l et de longueur L, avec l≤L . Il cherche à déterminer l pour que le remplissage du carton soit optimal, c'est-à-dire avec le plus grand nombre de gommes en laissant le moins d'espace libre possible. Chaque gomme est schématisée par un carré de 1 cm de côté. 1. Déterminer l'intervalle que peut décrire l. 2. Représenter graphiquement dans le plan rapporté à un repère orthogonal O ; , la i j fonction A qui à l associe l'aire du carton. 3. Déterminer le nombre de gommes rangées dans un carton lorsque l vaut en cm : 0 ; 0,7 ; 1 ; 1,1 ; 1,8 ; 2 ; 2,4 ; 2,91 ; 3 ; 3,5 4. Dans le repère O ; , , représenter graphiquement la fonction N qui à l associe le i j nombre de gommes contenues dans la boîte. 5. Déterminer les points de discontinuité de N. 6. Peut-on trouver une expression de N l à l'aide des fonctions connues ? 7. Quelle valeur de l optimise le rangement ?Exercice 2 : La réfraction d'un rayon lumineux Le plan est rapporté à un repère orthonormal O ; , . i j Les points A, I, B ont pour coordonnées respectives 0 ; a , x , 0 , d ,−b où a, b et d sont des constantes positives et 0≤x≤d . Un rayon lumineux se propage du point A au point B, situés dans deux milieux distincts. Il se déplace à la vitesse v 1 dans le milieu 1 de A à I; et à la vitesse v 2 dans le milieu 2 de I à B (voir figure ci-dessous). On note t x le temps mis par le rayon lumineux pour effectuer le trajet AIB.
1. Montrer que
a2 x 2 x−d 2 b2 t x = v1 v2
pour x ∈[0 ; d ] .
2. Déterminer les fonctions dérivées t' et t'' de t.
3. En déduire que t' est strictement croissante sur [0 ; d ] et s'annule en un unique point
v 1 a2 x 0 v 2 x 0−d 2 b2 (on ne cherchera pas à