Correction DS 5
Exercice 1.
1.

Angles orientés
Etude des variations d’une fonction π . 8

1ère S

Ligne trigonométrique de

¯± Préliminaires : ABC est un triangle isocèle en A , tel que AB = AC = a et BAC = α Démontrer que BC = 2 a sin α 2 ¯± CH sin HAC = AC

Dans AHC rectangle en H, on a :

¯± ¯± BAC = α car ( AH ) est la hauteur issue de A, c’est donc aussi la bissectrice de l’angle BAC . ¯± Or HAC = 2 2 D’où sin α CH α = soit CH = a sin 2 a 2 BC 2

H est le pied de la hauteur issue de A, c’est donc le milieu de [ BC ] car ABC est isocèle en A. Donc CH = On en déduit que BC = 2 CH = 2 a sin
→ →

α 2

2.

Soit ( 0 ; OI ; OJ ) un repère orthonormé du plan. M est le point de coordonnées polaires 1 ,



π 4

. 

a. b.

Faire une figure. Préciser les coordonnées cartésiennes de M. xM = 1 x cos π 2 = 4 2 yM = 1 x sin 2− 2 π 2 = 4 2

c.

Montrer alors que IM =
→ →

Comme ( 0 ; OI ; OJ ) est un repère orthonormé, alors : IM = ( xM − xI )² + ( yM − yI )²

= IM 3. =

 2   2   −1 + −0 2 2    
2− 2

2

2

En utilisant les résultats des questions 1. et 2. : a. Calculer sin π 8 ¯± IOMP π = 2 sin 2 8

Comme OIM est isocèle en O, alors d’après 1. on a IM = 2 OM sin π π d’où sin = 8 8 2− 2 2

D’après 2. on a donc π 8

2−

2 = 2 sin

b.

Calculer cos

Comme cos²

π π π + sin² = 1, on en déduit ( après quelques calculs ) que cos = 8 8 8

2+ 2

2

Exercice 2.
A

Simplifier les deux expressions :

= cos ( t + π ) + cos ( π − t ) + sin  t +



π 2

B

= cos ( 3 π + t ) – cos ( t + 4 π ) + sin  t +



π 2

= − cos t – cos t + cos t = − cos t

= − cos t – cos t + cos t = − cos t

Exercice 3.

Restitution Organisée des Connaissances
→ → → →

En utilisant uniquement la relation de Chasles, exprimer ( − v ; u ) en fonction de ( u ; v ). D’une part : D’autre part : D’où Finalement : ( − v ; u ) =( − v ; v )+( v ; u ) =π+(v; u )[2π] ( v ; u )+( u ; v