ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

MP

CONCOURS D’ADMISSION 2004

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

Solutions périodiques d’équations différentielles
On se propose, dans ce problème, d’étudier les solutions de certaines équations différentielles, et, en particulier, leurs solutions périodiques. On désigne par T un nombre réel > 0, par P l’espace vectoriel des fonctions définies sur R, réelles, continues et T -périodiques, et enfin par a un élément de P . On pose
T

A=
0

a(t)dt ,

g(t) = exp

Ä
0

t

a(u)du ;

ä

on munit P de la norme définie par x = sup |x(t)| . t∈R Première partie 1. Dire pour quelle(s) valeur(s) de A l’équation différentielle x (t) = a(t)x(t) admet des solutions T -périodiques non identiquement nulles. On désigne maintenant par b un élément de P , et on s’intéresse à l’équation différentielle x (t) = a(t)x(t) + b(t) . (E2) (E1)

2.a) Décrire l’ensemble des solutions maximales de (E2) et préciser leurs intervalles de définition. 2.b) Décrire l’ensemble des solutions maximales de (E2) qui sont T -périodiques, en supposant d’abord A non nul, puis A nul. 1

3. On suppose que T = 2π et que la fonction a est une constante k. 3.a) Supposant k non nul, exprimer les coefficients de Fourier x(n), n ∈ Z, d’une solution x ˆ de (E2) appartenant à P , en fonction de k et des coefficients de Fourier de b. Préciser le mode de convergence de la série de Fourier de x. 3.b) Que se passe-t-il lorsque k = 0 ?

Deuxième partie Dans cette partie on désigne par H une fonction réelle, de classe C 1 , définie sur R2 , et on s’intéresse à l’équation différentielle x (t) = a(t)x(t) + H(x(t), t) . (E3)

4. Vérifier qu’une fonction x est solution de (E3) si et seulement si elle satisfait la condition x(t) = g(t) x(0) +
0

Ä

t

g(s)−1 H(x(s), s)ds .

ä

5. On suppose que H est T -périodique par rapport à la seconde variable, et que A est non