Intégration TD2
Intégrale de Lebesgue : outils de calculs
Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan. e-mail : ayman@crans.org

On désigne par (X, A , µ) un espace mesuré.
L 1 (µ) désigne l’ensemble des fonctions mesurables complexes f définies sur X vérifiant :
|f |dµ < ∞
X

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Théorème fondamental du calcul :

Ce théorème regroupe deux résultats, connus depuis l’intégrale de Riemann (on omet volontairement les hypothèses pour l’instant) : x « F (x) :=

f (t)dt définit une primitive de f » a b

« f (b) − f (a) =

f (t)dt » a Dans le cadre de l’intégrale de Riemann, pour f régulière, ces résultats s’obtiennent aisément : la continuité de f fournit le premier, et l’existence d’une dérivée continue suffit au second.
La question est : l’intégrale de Lebesgue permet-elle d’étendre ces résultats, en relaxant les hypothèses de régularité effectuées sur f ?
La réponse est affirmative :
Définition : (Absolue continuité) [1], p.178
On dit qu’une fonction f définie sur un segment [a, b], à valeurs dans C, est absolument continue sur [a, b] si, pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que pour toute famille disjointe d’intervalles
]α1 , β1 [, ]α2 , β2 [, . . . , ]αn , βn [ inclus dans I et vérifiant : n n

|f (βi ) − f (αi )| < ε

(βi − αi ) < δ , on ait i=1 i=1

Théorème : [1], p.174 et suivantes
1. Si f ∈ L1 (R) alors F est presque partout dérivable, et, presque partout : F (x) = f (x). loc 2. Si f : R → R est absolument continue, alors elle est dérivable presque partout, f ∈ L1 et : loc b

f (b) − f (a) =

f (t) dt. a Remarque :
La preuve de ce théorème est trop longue pour être abordée en TD ou présentée en développement. Cependant le résultat est important et peut être mentionné dans les leçons portant sur l’intégration, à condition de préciser qu’il est ADMIS si on ne sait pas le démontrer. Le théorème de Rademacher, non énoncé ici, traite le cas des fonctions lipschitziennes (c’est donc un cas particulier