Dissertation

259 mots 2 pages
EXERCICE 1 (5 points ) (Commun à tous les candidats) Partie A On considère le polynôme P défini sur C par : √ √ √ P (z) = z 3 − 2 + i 2 z 2 + 2 1 + i 2 z − 2i 2. √ 1. Montrer que le nombre complexe z0 = i 2 est solution de l’équation P (z) = 0. √ 2. a) Déterminer les réels a et b tels que P (z) = z − i 2 (z 2 + az + b). b) En déduire les solutions dans C de l’équation P (z) = 0. Partie B − → Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, →, − ). On prendra 2 cm pour unité u v graphique. On considère les points A, B, J et K d’affixes respectives : √ zA = 1 + i, zB = 1 − i, zJ = i 2 et

zK = e

3iπ 4

.

1. Placer les points A, B, J et K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice. 2. Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l’affixe de L est égale √ à − 2. 3. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 4. Soit D le point d’affixe zD = −1 + i. On considère la rotation r de centre O qui transforme J en D. a) Déterminer une mesure de l’angle de la rotation r. b) Soit C l’image du point L par la rotation r. Déterminer l’affixe du point C. 5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.

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