Un début de problématisation ...

Peut-on soutenir : « A chacun sa vérité ? »
Attention à la formulation précise du sujet. Ne confondez pas : soutenir à chacun sa vérité » (ou ses vérités : être d'une franchise un peu brutale) et : dire « à chacun sa vérité »... Les guillemets signalent clairement qu'il est ici question de la locution proverbiale, qu'on cite souvent pour clore un débat.
Ce que vous savez

q L'expression « à chacun sa vérité » est ordinairement utilisée dans un contexte précis, lorsqu'il s'agit de mettre fin à une discussion. Elle implique un désaccord, mais invite à le considérer comme normal, en le mettant sur le compte de la nécessaire diversité des points de vue. Elle se présente donc comme une maxime de tolérance.

q Pourtant, elle empêche toute continuation de la discussion, puisque, si on la prend au sérieux, tenter de convaincre revient à mépri¬ser la vérité de l'autre, et la volonté de dialogue devient une forme d'intolérance, opinion tout de même difficile à soutenir.

q De plus, on ne comprend pas trop quel sens peut avoir une vérité qui soit propre à chacun et par conséquent incommunicable. Dans le même ordre d'idées, on peut ajouter que nul n'est propriétaire de la vérité.
Enfin, dire « à chacun sa vérité » représente évidemment une solution de facilité pour celui qui se trouve à court d'arguments, d'autant plus qu'on peut toujours y avoir recours, même lorsque de toute évidence l'on a tort. En pratique, c'est bien le plus souvent pour ne pas reconnaître sa défaite, ou pour se retenir de se fâcher contre un interlocuteur supposé de mauvaise foi, qu'on se résigne à clore la discussion par cette formule, dont la sincérité apparaît alors pour le moins douteuse.
Ce qu'il faut comprendre
Le sujet vise une attitude mortelle pour la philosophie, qu'on peut appeler au choix relativisme ou subjectivisme. Tout effort de pensée devient en effet inutile, si chacun est possesseur de sa vérité et si chercher à convaincre est perçu