DM 1

QUADRATURE DE LA PARABOLE

TS

Le plan P est muni d'un repère orthogonal (O, i , j ).

On considère la fonction ƒ, définie, sur

, par :

Le but du problème est de calculer l'aire A du domaine D suivant :

Concrètement, D est la zone située entre la courbe Cƒ de ƒ, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équations respectives x = 0 et x = 1. (Voir figure 1) y 1

Pour calculer l'aire du domaine D, on l'encadre avec des rectangles. Un première série de rectangles (en grisés sur la figure 2), situés sous la courbe, de sorte que la somme de leurs aires soit inférieure à A. D'autres, plus grands (en blanc sur la figure 2) de sorte que la somme de leurs aires soit supérieure à A.
D

y 1

O

Cƒ

O

1 5

2 5

3 5

4 5

1

Largeur des rectangles :

1 5

TS DM1 : quadrature de la parabole

Page 1

£ £

£ £

D = {M(x, y) ∈ P tels que 0

¡

¢

ƒ(x) = x 2 ƒ(x)}

x

1 et 0

y

Cƒ

1

x

Figure 1

Figure 2

Découpe du segment [0 ; 1] en 5 tranches

x

G. COSTANTINI

1. À l'aide d'un raisonnement géométrique élémentaire, expliquer pourquoi l'aire A du domaine D vérifie :

2. À l'aide de la figure 2, démontrer que :

3. On se propose maintenant de découper le segment [0 ; 1] en n tranches d'égales longueurs puis d'étudier ce qui se passe lorsque n tend vers +∞ (c'est-à-dire lorsque la largeur des rectangles tend vers 0) Les n tranches sont donc :
0; Ce que l'on peut noter encore 1 1 2 2 3 n −1 , ; , ; , .... , ;1 n n n n n n k k +1 ; , 0 n n

(Voir figure 3) a) À l'aide de la figure 3, compléter le tableau suivant : n −1 ;1 n

Tranche Hauteur des rectangles hachurés en Hauteur des rectangles hachurés en

0; 0

1 n

1 2 ; n n

des rectangles hachurés en Ainsi, on a :

Démontrer que pour tout n ∈

*

:

sn =

1 2 (1 + 22 + ... + k2 + ... + (n − 1)2) n3 sn = 1 n3 n −1

Ce que l'on note encore :

k =1 n

Démontrer aussi que :

Sn = sn +

1