Correction Bac, série S Commun à tous les candidats juin 2011

Exercice no 1
Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus.

4 points

PARTIE A
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : • La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0, 99 (sensibilité du test). • La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0, 97 (spécificité du test). On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note V l’événement « la personne est contaminée par le virus » et T l’événement « le test est positif ». V et T désignent respectivement les événements contraires de V et T. 1. a) Valeurs des probabilités : p(V) = 0, 02, p V (T) = 0, 99 et p V (T) = 0, 97. Arbre de probabilité. 0, 99 0, 02 V 0, 01 0, 03 V 0, 97 b) Probabilité de l’événement V ∩ T : p(V ∩ T) = p V (T) × p(V) = 0, 99 × 0, 02 = 0, 0198 2. Probabilité que le test soit positif est : p(T) = p(V ∩ T) + p(V ∩ T) = p V (T) × p(V) + p V (T) × p(V) = 0, 99 × 0, 02 + 0, 03 × 0, 98 = 0, 0492 T T T T

0, 98

1

3.

a) « Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40% de « chances » que la personne soit contaminée »correspond à la probabilité p T (V) 0, 40. Vérifions : p T (V) = p(V ∩ T) 0, 0198 = p(T) 0, 0492 0, 40243902439 0, 40

b) Probabilité p T (V) qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif. p T (V) = p(T ∩ V) p(T) = p V (T) × p(V) p(T) = p V (T) × p(V) 1 − p(T) = 0, 97 × 0, 98 1 − 0, 0492 0, 9998

PARTIE B
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. X suit une loi binomiale car • Il n’y a que deux issues : soit V, soit V ; • les tirages sont indépendants ; • p = 0, 02 • n = 10 2. Probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées