20/12/2013
✞

Mathématiques

1ère S3

☎

✝Exercice 1 ✆

Soit f définie sur [0 ; +∞[ par : f (x) =

√

x

et Cf sa courbe représentative. Soit T la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 1.
1. Déterminer une équation de T .
2. Étudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g(x) =

√

x−

x 1
− ·
2 2

3. En déduire la position de la courbe Cf par rapport à sa tangente T .
✞

☎

✝Exercice 2 ✆

−
→ −
→
Dans un repère orthonormal (O ; i , j ), soit A le point de coordonnées (1; 2) et M un point de l’axe des abscisses d’abscisse x strictement supérieur à 1. On appelle P le point d’intersection de (AM) avec l’axe des ordonnées.
1. Démontrer que l’ordonnée du point P est

2x
·
x−1

2. Exprimer l’aire du triangle OMP en fonction de x.
3. Étudier les variations de la fonction f définie sur ]1 ; +∞[ par f (x) =

x2
·
x−1

4. Déterminer la position du point M qui permet d’obtenir l’aire de OMP minimale. Quelle est alors la valeur de cette aire ?
✞

☎

✝Exercice 3 ✆

On considère la fonction f définie sur IR par f (x) = 3 +

1. Étudier les variations de f sur IR.

1−x
·
x2 + 1

2. En déduire un encadrement de f (x) sur [-10 ; 10].
✞

☎

✝Exercice 4 ✆

Démontrer que la fonction f définie sur I = [−4 ; 4] par f (x) = admet un maximum et un minimum sur I, que l’on déterminera.

2
(x + 1)2 + 1

page 1/2

✞

☎

✝Exercice 5 ✆

−x3 + 5x2 − 7x + 3
·
(x − 2)2
→
− −
→
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; i , j )
(unité graphique : 1 cm).
1. On considère le polynôme P défini par P (x) = −x3 + 6x2 − 13x + 8.
Calculer P (1).
En déduire une factorisation de P puis étudier son signe sur IR.
P (x)
·
2. Montrer que, pour tout x ̸= 2, f ′ (x) =
(x − 2)3
3. Étudier les variations de f .
4. Soit ∆ la droite d’équation y = −x + 1.
a) Étudier la position relative de C et ∆.
b) Démontrer que C admet une unique tangente parallèle à ∆.
c) On appelle T la tangente précédente. Déterminer l’équation réduite de T .
5. Tracer T , ∆ et C