Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (5 points) (candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité)
On considère la suite numérique (un )) définie sur N par :
3
1 u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = − u2n + 3un − .
2
2
Partie A : Conjecture
1) Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de u1 et u2 .
2) Donner une valeur approchée à 10−5 près des termes u3 et u4 .
3) Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un ).
Partie B : Validation des conjectures
On considère la suite numérique (vn ) définie pour tout entier naturel n, par : vn = un − 3.
1
1) Montrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 = − v2n .
2
2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, −1
3) a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 − vn = −vn

vn

0.

1 vn + 1 .
2

b) En déduire le sens de variation de la suite (vn ).
4) Pourquoi peut-on affirmer que la suite (vn ) converge ?
5) On note ℓ la limite de la suite (vn ).
1
On admet que ℓ appartient à l’intervalle [−1; 0] et vérifie l’égalité ℓ = − ℓ2 .
2
Déterminer la valeur de ℓ.
6) Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées ?

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1

c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
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Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 : corrigé
Partie A : Conjecture
3
1
3
5
1
1) u1 = − u20 + 3u0 − = − 22 + 3 × 2 − = = 2, 5.
2
2
2
2
2
2
1 2
3
1 5
5 3
25
23 u2 = − u1 + 3u1 − = −
+3× − =− +6=
= 2, 875.
2
2
2 2
2 2
8
8 u1 =

23
5
et u2 =
.
2
8

2) La calculatrice fournit u3 = 2, 99219 à 10−5 près et u4 = 2, 99997 à 10−5 près.
3) La suite (un ) semble croissante, convergente, de limite égale à 3.
Partie B : Validation des conjectures
Soit n un entier naturel.
1
3
9
1 vn+1 = un+1 − 3 = − u2n + 3un − − 3 = − u2n + 3un −
2
2
2
2
1 2
1
2
= − un − 6un + 9 = − (un − 3)
2
2
1 2
= − vn .
2
1
Pour tout entier naturel n, vn+1 = − v2n .
2
2) Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n,