Devoir Maison n°4 :
La suite de Fibonacci et le nombre d'Or

Parties A et B à rendre le : jeudi 26 Février Rendez-vous le : lundi 23 Février
Partie C à rendre le : jeudi 19 Mars Rendez-vous le : lundi 16 Mars

Partie A : La suite de Fibonacci

Au XIIIème siècle, dans son traité mathématique Liber Abaci, le mathématicien Fibonacci pose le problème suivant :

« Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de l'année si, commençant avec un couple, chacun des couples produisait chaque mois un nouveau couple lequel deviendrait productif au second mois de son existence ? »

Les réponses constituent les nombres de la suite de Fibonacci : 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - …

1) Explique ce résultat et complète la suite de nombres de Fibonacci pour la 1ère année.

2) Calcule les valeurs approchées à 10-3 près des quotients de deux nombres successifs de la suite de Fibonacci et compare les résultats avec (« phi »), le Nombre d'Or.

Partie B : Un peu de fractions

1) Calcule la valeur exacte des quotients suivants : 2) Calcule la valeur exacte des quotients A4, A5 et A6.

3) Calcule une valeur approchée à 10-3 près des résultats et compare les avec le Nombre d'Or φ.

Partie C : Un peu de Géométrie avec le nombre d'Or

1ère partie :

1) Trace un carré AIJD de côté 10 cm. Place le point M milieu de [DJ] et le point C appartenant à la demi-droite [DJ) tel que MI = MC.
Construis le point B tel que ADCB soit un rectangle.

2) Calcule la valeur exacte de la longueur MI.
Déduis en la valeur exacte de la longueur DC du rectangle ADCB.
3) Vérifie que (c'est-à-dire le rapport « longueur sur largeur ») est égal à φ. Un rectangle vérifiant cette condition est appelé Rectangle d'Or.

2ème partie :

1) Quelle doit être la longueur d’un rectangle ABCD de largeur AD = 6 cm pour qu'il soit un Rectangle d'Or? Donne la valeur exacte puis vérifie qu’une valeur approchée à 10-2 près centimètre est 9,71 cm.

2) Dessine ce rectangle ABCD puis trace, à l’intérieur de ce