SERIE S SESSION JUIN 2005 France METROPOLITAINE ´ Exercice 3 (Enonc e)
Commun a tous les candidats ` Pour les questions 1 et 2, on donnera les r´ sultats sous forme de fraction et sous e forme d´ cimale approch´ e par d´ faut a 10−3 pr` s. e e e ` e Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes dans une boˆte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boˆte cylindrique. ı ı 1. Dans un premier jeu, il choisit simultan´ ment trois billes au hasard dans la boˆte e ı cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X la variable al´ atoire correspondant au nombre de billes rouges choisies. e (a) D´ terminer la loi de probabilit´ de X. e e (b) Calculer l’esp´ rance math´ matique de X. e e 2. Un deuxi` me jeu est organis´ de telle sorte que l’enfant choisisse d’abord au e e ı hasard une des deux boˆtes, puis qu’il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boˆte choisie. On consid` re les ev` nements suivants : ı e ´ e C1 :”L’enfant choisit la boˆte cubique”, ı C2 :”L’enfant choisit la boˆte cylindrique”, ı R :”L’enfant prend une bille rouge”, V :”L’enfant prend une bille verte”. (a) Repr´ senter par un arbre pond´ r´ la situation correspondant a ce deuxi` me e ee ` e jeu. (b) Calculer la probabilit´ de l’´ v` nement R. e e e (c) Sachant que l’enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilit´ qu’elle e provienne de la boˆte cubique ? ı 3. L’enfant reproduit n fois de suite son deuxi` me jeu, en remettant a chaque fois e ` la bille tir´ e a sa place. e ` (a) Exprimer, en fonction de n, la probabilit´ pn que l’enfant ait pris au moins e une bille rouge au cours de ses n choix. (b) Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle pn ≥ 0.99.

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