Devoir de math´ ematiques T ale S

Exercice 1 (Baccalaur´eat France m´etropolitaine, juin 2009)
On consid`ere la suite (wn ) dont les termes v´erifient, pour tout nombre entier n ≥ 1 : nwn = (n + 1)wn−1 + 1 et w0 = 1 .
Le tableau suivant donne les premiers termes de cette suite : w0 1

w1
3

w2
5

w3
7

w4
9

w5
11

w6
13

w7
15

w8
17

w9
19

a. D´etailler le calcul permettant d’obtenir w10 .
b. Dans cette question toute trace de recherche, mˆeme incompl`ete, ou d’initiative, mˆeme non fructueuse, sera prise en compte dans l’´evaluation.
Donner la nature de la suite (wn ). Calculer w2009 .

Exercice 2
Partie I. Soit g la fonction d´efinie sur IR par : g(x) = x3 − 3x − 4.
1. Etudier le sens de variation de g sur IR.
2. D´emontrer que l’´equation g(x) = 0 admet dans IR une solution unique que l’on notera α.
3. D´eterminer le signe de g sur IR.
Partie II. Soit f la fonction d´efinie sur IR \ {−1; 1} par : f (x) = repr´esentative dans un rep`ere orthonormal.

x3 + 2x2
. On note Cf sa courbe x2 − 1

1. D´eterminer les limites de f en −∞ et en −1. Pr´eciser les asymptotes ´eventuelles. x+2 2. Montrer que pour tout x de IR \ {−1; 1}, f (x) = x + 2 + 2
.
x −1
3. Justifier l’existence d’une asymptote oblique ∆ `a Cf .

Exercice 3 (Baccalaur´eat France m´etropolitaine, septembre 2007)
23
1
La suite u est d´efinie par : u0 = 2 et un+1 = un + , pour tout entier naturel n.
3
27
a) On a repr´esent´e, dans un rep`ere orthonorm´e direct du plan en annexe (en fin d’´enonc´e), la
23
1 et le point A de coordonn´ees (2; 0). droite d’´equation y = x +
3
27
Construire sur l’axe des abscisses les quatres premiers termes de la suite u.
23
b) D´emontrer que, si la suite u est convergente, alors sa limite est l = .
18
23
c) D´emontrer que, pour tout entier naturel n, on a un ≥ .
18
d) Etudier la monotonie de la suite u et donner sa limite.

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Exercice 4 (Baccalaur´eat France m´etropolitaine, juin 2005 4 points)
Cet exercice est une restitution organis´ee des connaissances.
Partie A :