PREMIERE ES

Mercredi 2 mars 2011

NOM :

Nombre de copies :

DEVOIR TRIMESTRIEL DE MATHEMATIQUES
Calculatrice autorisée
Durée 3 h

Suites :

/20

Fonctions :

/40

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Suites (20 points)
Partie A – Etude d'une suite
On considère la suite ( Un) définie par U0 = 900 et, pour tout entier naturel n :
Un+1 = 0,6 Un+200
1. Calculer U1 et U2. Cette suite est-elle d’une nature connue ?
2. On considère la suite ( Vn) définie, pour tout entier naturel n, par :
Vn = Un – 500
a) Exprimez Vn+1 en fonction de Vn.
b) Quelle est la nature de la suite (Vn) ?
Donner son premier terme et sa raison.
c) Exprimer Vn en fonction de n. En déduire que :
Un = 400×(0,6)n + 500
d) Quel est le sens de variation de ces deux suites (bien justifier).

Partie B – Application économique
Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1er janvier, soit auprès de A, soit auprès de B, un contrat d'un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir A ou B.
L'année 2000, la société A détient 90% du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10%.
On estime que chaque année, 20% de la clientèle de A change pour B, et de même 20% de la société B change pour A.
On considère une population représentative de 1000 clients de l'année 2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B.
On veut étudier l'évolution de cette population les années suivantes.
1. a) Vérifier que la société A compte 740 clients en 2001. Calculer le nombre de clients de A en 2002.
b) On note an le nombre de clients de A l'année (2000 + n). Quel est alors le nombre de clients bn de la société B
Etablir que an+1 = 0,6 an +200.
c) Exprimeran, en fonction de n.
2. a) Montrer que, quel que soit l'entier naturel n, an > 500.
b) Montrer que quel que soit l'entier n > 10, on a an < 502. (Bien justifier).
c) Que peut-on en déduire pour l'évolution du marché des télécommunications dans ce