Première S

2011-2012
Exercices : variations des fonctions associées

Exercice 1 : variations des fonctions associées : distance d'un point à une droite Dans un repère

orthonormé, on considère les points A(0;1) et M(x;y). M est

un point de la droite d d'équation y = x – 4.
L'objectif est d'étudier les variations de la distance Am lorsque M parcourt la droite d, et en particulier de déterminer la distance AM minimale.
1) Exprimer la distance AM en fonction de x.
2) L'objectif est donc maintenant d'étudier les variations de la fonction : f:x 2x² - 10x + 25

a) Justifier que f(x) existe quel que soit le nombre x.
b) Etablir le tableau de variation de la fonction u définie sur Y par : u:x 2x² - 10x + 25.

c) Enoncer le théorème qui permet de déduire des variations de u celles de f.
d) En déduire la valeur minimale de la distance AM.
Exercice 2 : variations des fonctions associées
[AB] est un segment de longueur 8 cm et M est un point de ce segment distinct des extrémités A et B.
On pose AM = x avec 0 < x < 8.
On note f la fonction définie par f(x) =

1
1
+
.
AM BM

a) Démontrer que pour tout x de l'intervalle ]0;8[, f(x) =

8
.
16 – (x – 4)²

b) Etudier le sens de variation de f sur ]0;8[.
c) Déterminer la position du point M pour laquelle f(x) est minimale.

1

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Exercices : variations des fonctions associées

Exercice 3 : variations des fonctions associées f est la fonction définie sur l'intervalle [-1;+ ∞[ par f(x) =

1 + x.

On a construit ci-dessous la courbe Cf représentative de f.

1) a) Sur l'intervalle [-1;+ ∞[ comparer les nombres

x
1 + x et 1 + .
2

b) Pour quelle valeur de x obtient-on :
1+x=1+

x
?
2

2) a) Représenter sur le même graphique Cf et la droite d'équation y = 1 + x .
2
Exercice 4 : variations des fonctions associées
1) Etudier les variations de la fonction f définie sur Y par f(x) = 2x² + 2x –
4.
2) Etudier le signe de f(x) suivant les