Dérivé
1. Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x0. On dit que f est dérivable en x0 si la quantité admet une limite finie quand h tend vers 0.
Cette limite est appelée nombre dérivé en x0 et notée f '(x0).
Remarque : Il ne faut pas écrire « » si l'existence de cette limite n'a pas encore été justifiée.
2. Meilleure approximation affine
Théorème 1 f est dérivable en x0 si et seulement si il existe un réel l tel que f(x0+ h) = f(x0) + l h + h(h) avec
Alors l = f '(x0).
Remarque : on parle d'approximation affine car on remplace la fonction h f(x0 + h) par la fonction affine h f(x0) + f '(x0)h.
L'erreur commise en effectuant ce remplacement est h (h). Cette erreur n'est petite que lorsque h est très petit.
Exemples importants :
(1 + h)² = 1 + 2h + h(h) (1 + h)3 = 1 + 3h + h(h) avec .
3. Lien avec la notion de limite
Propriété 1
Si f est dérivable en x0, alors f admet une limite finie en x0.
Remarque : la réciproque est fausse !
4. Nombre dérivé à droite. Nombre dérivé à gauche
Définition
Si existe et est finie, on dit que f est dérivable à droite en x0 et on note f 'd(x0) cette limite, appelée « nombre dérivé à droite » en x0.
On définit de façon similaire le nombre dérivé à gauche f 'g(x0). Dans le cas où l'expression de f(x) n'est pas la même avant et après x0 et si f admet une limite finie en x0 (qui est alors f(x0)), alors :
Théorème 2 f est dérivable en x0 si et seulement si f 'd(x0) et f 'g(x0) existent et sont égaux.
5. Interprétation graphique et mécanique
Propriété 2
S'il existe, le nombre dérivé f '(x0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point M0(x0, f(x0)).
Remarque : Si f 'd(x0) et f 'g(x0) existent mais sont différents, la courbe admet deux demi-tangentes en M0 et fait un « angle » en ce point.
Propriété 3
Si x(t) désigne l'abscisse, à l'instant t, d'un point mobile se