Mich`le Audin e ANALYSE COMPLEXE

Mich`le Audin e Institut de Recherche Math´matique Avanc´e, Universit´ Louis Pasteur et CNRS, e e e 7 rue Ren´ Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France. e E-mail : Michele.Audin@math.u-strasbg.fr
Url : http://www-irma.u-strasbg.fr/˜maudin

Mots clefs. fonction holomorphe, fonction analytique, exponentielle, logarithme, th´or`me de Caue e chy, principe du maximum, th´or`me de Liouville, indice, singularit´s, fonctions m´romorphes, fonction e e e e
℘ de Weierstrass, produit infini, th´or`me des r´sidus, fonction zˆta de Riemann, th´or`me des nombres e e e e e e premiers. La figure de couverture repr´sente la fonction ℘ de Weierstrass et a ´t´ dessin´e par Olivier Elchinger. e ee e 10 mai 2011

ANALYSE COMPLEXE
Mich`le Audin e R´sum´. Ces notes de cours sont une introduction ` l’analyse complexe, avec cent quatre-vingt-onze e e a exercices et vingt-cinq figures. On y ´tablit, pour les fonctions d’une variable complexe, l’´quivalence e e entre holomorphie et analyticit´ (Cauchy, Morera). On y discute de la question du logarithme et plus e g´n´ralement des primitives, des pˆles et autres singularit´s. Pour ce faire, on y int`gre les fonctions e e o e e sur les chemins, ce qui am`ne le th´or`me des r´sidus et ses applications plus ou moins calculatoires. e e e e On y construit et ´tudie aussi des fonctions elliptiques, la fonction zˆta de Riemann, et on y d´montre e e e le th´or`me des nombres premiers. e e

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TABLE DES MATIERES

Pr´face. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Pr´requis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Sources, r´f´rences et remerciements. . . . . . . . . . . . . . . . .