ECRICOME_2005_E c
4002 mots
17 pages
corrigé ECRICOME 2005 Option Economiquepar Pierre Veuillez1
EXERCICE
On considère, pour tout entier naturel n, l’application 'n dé…nie sur R par :
8x 2 R;
x)n e
'n (x) = (1
ainsi que l’intégrale :
In =
Z
2x
1
'n (x) dx
0
On se propose de démontrer l’existence de trois réels, a, b, c tels que :
In = a +
b c 1
+ 2 + 2 " (n) n n n avec
lim " (n) = 0
n!+1
'n étant continue, l’intégrale est bien dé…nie.
R1
R1
1
1 e 2x 0 = 21 e 2 + 1
1. On a I0 = 0 '0 (x) dx = 0 e 2x dx =
2
R1
R1
et I1 = 0 '1 (x) dx = 0 (1 x) e 2x dx en intégrant par parties avec u (x) = (1
1 : v 0 (x) = e 2x : v (x) = 21 e 2x les fonctions u et v étant de classe C 1 on a :
1
e
2
I1 =
1
2x
(1
1
1
e
=
2
4
1 1 2
=
+ e
4 4
x)
0
1
2x
=
0
Z
1
0
1 e 2
1 1
+ e
2 4
2
2x
+
x) : u0 (x) =
dx
1
4
2. Comme on ne peut pas calculer facilement In ; pour comparer In et In+1 on compare d’abord leurs contenus :
'n+1 (x)
'n (x) = (1 x)n+1 e 2x (1 x)n e 2x = (1
=
x (1 x)n e 2x 0 sur [0; 1]
Donc 'n+1
'n sur [0; 1] :
Comme 0
1 (bornes) alors
R1
0
'n+1 (x) dx
Conclusion : la suite I est décroissante
R1
0
x)n e
2x
0 donc (0
x
1) e
2x
'n (x) dx et
3. Pour déterminer le signe de In ; on cherche celui de son contenu :
Pour tout x 2 [0; 1] : (1 entier naturel n
x)n (1
1) on a In =
R1
0
'n (x) dx
0 pour tout
4. La suite I étant décroissante et minorée par 0 elle est convergente vers une limie `
5. La fonction x ! e 2x est décroissante sur R donc pour x tout x 2 [0; 1] on a g (x) 1
0 on a g (x)
0
g (0) = 1 et pour
6. On enchaine alors les inégalités sur le contenu puis l’intégrale :
Pour tout x 2 [0; 1] : e 2x
R1
R1 n 2x
(1
(1
x)
e dx 0
0
x)n
1 et (1
x)n dx =
x)n e
0 donc (1
1 n+1 8n 2 N;
(1
1
x)n+1
0
=
0
1 n+1 2x
x)n d’où
(1
et …nalment
1 n+1 In
7. Conclusion : Par encadrement on a alors In ! 0 quand n tend vers l’in…ni.
R1
8. On a In+1 = 0 (1 x)n+1 e 2x dx on pose u (x) = (1 x)n+1 : u0 (x) = (n + 1) (1 v 0 (x) = e 2x : v (x) = 21 e 2x les fonctions