BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CODE EPRIUVE : 297 EDHECMATS

ECOLE DE HAUTES ETUDESCONIMERCIALESDU NORD

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES
L u n d i 7 m a i 2 0 0 7 .d e 8 h . à 1 2 h .

Lo présentotion, lisibilité,l'orthographe, quolitéde lo réduction clorté et la précision la lo des rqisonnemen1s ,lo entreront pour une port importcnfe dons l'opprécioiiondes copies. Les condidotssont invités à encodrendons lo mesuredu possibleles résuliots de leurs colculs. f ls ne doivent foire usaged'oucundocumenl : I'utilisotion de foute colculotrice et de tout mofériel électronigue est interdite. Seule l'utilisofion d'unerègle gnoduée est outorisée.

ExerciceI
(*n

Pourtout n de IN*, on poseun:

-=*

J or * _
l) Montrerquela suite(ar,),upestbien#n.rr..
2) Pourtout n de IN*, on posealorsy,?: I

|

rt

e-'

-

(*e L w n|: '-' 1 I to* J,r*;

I l* Jo'ni

a) Montrer : Vne [..]*,0 < *,. que

! . e e c) Donner la limite de la suite (a,). 3) On seproposede déterminerun équivalentde z, lorsquen est au voisinagede *oo. a) Montrer que l'inrégraleJ : .f _ il0 1-5 x dx estuneintégraleconvergente.

b) Montrer : Vne N *, v,Z 1 m1r* r;. que

b ) É t a b l i r q u e : v r e t N *f,' 0 t - ' - r ' a * s t . < I J, _r+ n
c) En déduireun encadrement v, valablepour tout r de N*. de d) Donnerenfin, en utilisant cet encadrement. équivalentsimple d,eun. un

Exercice2 de On considèreles matricessuivantes 9l+(lR) :

(o 0 ( i 0 - l -0 l ( r o o o )( o ' ? t 0 0 0 0l 0 0 0 l I t : ll o; ;I 0 0 ll ' r l: ll o o r l ' " l= l 0t 0 oI le t L = l 0 t o ; ; l 0

0 - 1 0

1)

0l

l o o o l

1 [ o o - 1 r ) l . o

ol

0

0)

\-l

0

0 0)

identitéde E. par vectoriel engendré (1,J, K, L) et.Id I'endomorphisme On note E le lR-espace tr: J + K. On pose 1) Montrer que (1,J, K, L) est une basede.E et donnerla dimensionde E. de 2) a) Exprimer J K, KL et LJ en fonction respectivement L, J et K. -L, LK : -J etJL : -K' b) CaiculerJt, K2 et Z2 puis en