Dénombrement

TS

Dans un lot de 20 pièces fabriquées, 4 sont mauvaises. De combien de façon différentes peut-on en prélever 4 dans les cas suivants :
a) les 4 pièces sont bonnes
b) Une au moins d’entre elles est mauvaise.
c) Deux au moins sont mauvaises.
Solution
Les réponses dépendent de l'expérience. D'après l'énoncé il n'y a pas répétition mais est-ce que l'ordre compte ? Tirages successifs, arrangements, ou tirage simultané, combinaisons ?
a) Si l'ordre compte il y a

A16
4

façons sinon une

16
4

ou

28 4

 28
2

précédent donc :

16= A
3
A = p ! n  p A 4 − A4 −4 × 4!
20
16

4
20

− A4 −16 A3
16
16

20−16−4 16 
4
4
3

5) Attention, il faut bien lire la question, ici couleur désigne noir ou rouge et non pique, cœur, carreau, trèfle. On choisit la couleur des deux cartes donc 2 cas, puis cas
2

88
2 3

28
5

donc

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Une classe de 30 élèves, 12 filles et 18 garçons, doit élire un comité composé d’un président, un vice-président et un secrétaire.
a) Combien de comités peut-on constituer ?
b) Combien de comités peut-on constituer sachant que le poste de secrétaire doit être occupé par une fille ?
c) Quel est le nombre de comités comprenant l’élève X ?
d) Quel est le nombre de comités pour lesquels le président est un garçon et le secrétaire une fille ?
e) Quel est le nombre de comités pour lesquels le président et le vice-président sont de sexes différents ?
Solution
L'ordre compte et il n'y a pas de répétition donc les comités sont des arrangements.
a) Il y a A3 comités possibles.
30
b) On choisit une fille parmi 12 donc 12 choix pour la secrétaire puis deux élèves parmi les 29 restants donc : 12 A 2
29
c) Il y a 3 postes possibles pour X puis on choisit 2 élèves parmi les 29 restants donc :
3 A2
29
d) Il y a 18 choix pour le président puis 12 pour le secrétaire et il à choisir le vice-

président