ISIFC 1

Elasticité

Première partie : étude des contraintes
Exercice 1 La figure ci-contre représente un cube élémentaire centré en un point P d'un milieu continu, ainsi que les densités surfaciques de force qui s’exercent sur les faces de ce cube. Ces densités sont exprimées en MPa (1 MPa = 106 N/m2).  Donner la valeur des composantes, dans la base    (e1 , e 2 , e3 ) , du tenseur des contraintes au point P.
30 e3 O e1 e2

?

.
20

40 P 60

Exercice 2 En un point P d'un milieu continu, le tenseur des contraintes s’exprime, dans la base    orthonormée (e1 , e2 , e3 ) , par :

0 3 0  σ = 3 0 0 (valeurs en MPa).   0 0 9   

 Calculer les vecteurs contraintes ainsi que les contraintes normale et tangentielle qui s'exercent (au point P) sur les facettes orientées par les vecteurs normaux suivants :    n (1,0,0) ; n (1,1,0) ; n (1,1, 2 ) . Attention : ces vecteurs ne sont pas tous unitaires ! Exercice 3 Le tenseur des contraintes au point O d’un solide vaut, dans la    base orthonormée (e1, e2, e3 ) :

 2 − 2 0 σ (O) = − 2 3 1 (valeurs en M Pa).   0 1 2  

  En déduire les composantes du vecteur contrainte T (O, n ) agissant en O sur le plan parallèle au plan ABC.



Exercice 4    Dans la base orthonormée directe (e1 , e2 , e3 ) , le tenseur des contraintes en un point M s’écrit :

5 0 1  σ (M ) = 0 1 0 (valeurs en MPa).   1 0 5    Calculer les contraintes principales (σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 ) et la base orthonormée directe des
   directions principales des contraintes (n1 , n2 , n3 ) .

26/04/10

J.Duffaud F.Richard

ISIFC 1 Exercice 5 Soit une poutre de faible largeur chargée  selon la figure ci-contre : e2 - densité surfacique de cisaillement k, constante sur la face BC