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Pages: 7 (1583 mots) Publié le: 28 avril 2012
La Recherche Opérationnelle
Niveau : 2ème/4ème année Filière : Management

ELIDRISSI Hassna A.U 2011/2012

Cas général : Emploi des variables artificielles
Niveau : 2ème/4ème année Filière : Management

ELIDRISSI Hassna A.U 2011/2012

Chapitre 5 : Cas général : Emploi des variables artificielles Introduction
Un programme linéaire peut comporter 3 types de contraintes (P), (Q) et (R)•

Les contraintes de type (P) sont de la forme :

a
j 1

p

ij

x

j

 bi où

bi  0
bk  0
bl  0



Les contraintes de type (Q) sont de la forme :

a
j 1

p

kj

x j  bk





Les contraintes de type (R) sont de la forme :

a
j 1

p

lj

x j  bl



H. ELIDRISSI

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Chapitre 5 : Cas général : Emploi des variablesartificielles Introduction
• Dans le chapitre précédent tous les programmes linéaires qu’on a traités sont du type (P). Or dans beaucoup de problèmes réels, on

peut retrouver des contraintes de type (Q) et/ou de type (R), ainsi
que des problèmes où on a à minimiser au lieu de maximiser. • Dans ce chapitre, on étudiera les modifications à apporter à la

méthode du simplexe pour qu’elle puisse résoudretous ces types de
programmes

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Chapitre 5 : Cas général : Emploi des variables artificielles Les variables artificielles
• Prenons un exemple avec m=3 contraintes explicites : la 1ère de type (P), la 2ème de type (Q) et la 3ème de type (R) :

Max z = 4x1 + 5x2 +3x3 s.c x1 + 2x2 + x3 ≤ 5 (P) 2x1 + x2 + x3 ≥ 1 (Q) x1+ x2 = 4 (R) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

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5 Chapitre 5 : Cas général : Emploi des variables artificielles Les variables artificielles
• L’introduction des variables d’écart donne le PL standard suivant: Max z = 4x1 + 5x2 +3x3 s.c x1 + 2x2 + x3 + e1 = 5 2x1 + x2 + x3 - e2 = 1 x1+ x2 = 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, e1 ≥ 0, e2 ≥ 0

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Chapitre 5 : Cas général : Emploi des variables artificielles Les variablesartificielles
Solution réalisable de base initiale :
• Afin de générer une solution réalisable de base initiale pour la méthode de simplexe, on va annuler les variables de décision

x1, x2 et x3. Ceci nous permet de commencer à partir de l’origine O.
• On vérifie bien que l’origine n’est pas une solution réalisable • Comment nous allons réécrire le programme de manière qu’on puisse construire le tableaude simplexe initial à l’origine?

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Chapitre 5 : Cas général : Emploi des variables artificielles Les variables artificielles
Solution réalisable de base initiale : • Pour arriver à cette fin : une astuce mathématique : • Introduction de nouvelles variables, dites variables

artificielles a1 et a2.
• Ces variables n’ont aucune interprétation, comme leur nom l’indique,ils sont conçus artificiellement pour nous aider à constituer une base de matrice B = I et donc à formuler le tableau initial du simplexe à partir de l’origine.
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Chapitre 5 : Cas général : Emploi des variables artificielles Les variables artificielles
Solution réalisable de base initiale : • Donc en ajoutant ces deux variables artificielles a1 et a2 respectivement à la 2ème et3ème contrainte, le programme devient : Max z = 4x1 + 5x2 +3x3 s.c x1 + 2x2 + x3 + e1 = 5 2x1 + x2 + x3 - e2 + a1 = 1 x1+ x2 + a2 = 4 Avec: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, e1 ≥ 0, e2 ≥ 0, a1 ≥ 0, a2 ≥ 0

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Chapitre 5 : Cas général : Emploi des variables artificielles La méthode du grand ‘’M’’
• Avec les variables artificielles on a pu construire une base (e1, a1, a2), cependant lapositivité d’une variable artificielle fait que la contrainte dans laquelle elle a été introduite est violée. Ainsi : • Si a1 n’est pas nulle, on a 2x1 + x2 + x3 - e2 ≠ 1 • Et si a2 n’est pas nulle, on a x1 + x2 ≠ 4 • Tant que les variables artificielles restent dans la base, la solution demeure non réalisable réellement pour notre programme • Il convient alors, partant d’une base comportant une ou...
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