Equilibre du jeu d’enchères.
Enchères au premier prix :
Un bien unique est proposé aux enchères à N=3 enchérisseurs : l’enchère se déroule ainsi :
Les joueurs proposent chacun une mise bi simultanément, l’enchérisseur qui a proposé le prix le plus élevé remporte le bien et paye le montant proposé.
Contrairement aux enchères au second prix, (où l’enchérisseur qui remporte l’enchère paye le second prix le plus élevé et a toujours intérêt à proposer le prix maximum qu’il est prêt à payer) ici l’enchérisseur paye sa mise : il doit donc arbitrer entre le fait de faire une enchère haute qui augmentera sa probabilité de remporter le bien et une enchère basse qui minimisera le prix qu’il payera si il remporte le bien.
Chaque joueur i a une évaluation vi pour le bien. Les vi sont iid et distribués selon une loi exponentielle de paramètre p, de densité f() et de fonction de répartition F(). La distribution des vi est connaissance commune, mais les enchérisseurs ne connaissent que la réalisation de leur propre évaluation. fx=0, &x<0p*exp⁡(-px), &x≥0
Fx=0, &x<01-exp⁡(-px), &x≥0

L’utilité de l’enchérisseur i sera vi-bi, si il remporte l’enchère et 0 sinon.
Les enchérisseurs étant neutres au risque (et leur neutralité au risque étant également connaissance commune), ils vont chercher la mise qui maximisera l’espérance de gain :
EG=Pr(gagner l’enchère)*(vi-bi)
i.e. EG=Pr(bi>bj∀j≠i)*(vi-bi)
La probabilité de remporter l’enchère dépend non seulement de la mise du joueur, mais également de celles des autres. Nous allons chercher l’équilibre de Nash ce jeu d’enchère :
L’ensemble des stratégies possible est l’ensemble des fonctions réelles qui à toute évaluation v associe une mise b(v) :
S=b :R→R ; v→b(v):
Un équilibre de Nash est un ensemble de stratégies (s1, s2,…, sN)∈ SN (N étant le nombre de joueur) tel que chaque stratégie siest meilleure réponse aux stratégies des autres. C’est à dire, que la stratégie de chaque joueur sera optimale