Eolien
2780 mots
12 pages
Fonctions continuesI désigne ici un intervalle infini de R (c'est-à-dire ni vide ni réduit à un singleton)
D désigne une partie non vide de R.
Généralités A) Rappel de définition
Soit [pic] Soit [pic]. [pic] • On dit que f est continue (sur D) lorsque f est continue en tout point [pic] de D, c'est-à-dire : [pic]
B) Opération sur les fonctions continues 1) Restriction
Définition, proposition : Soit [pic], soit [pic] non vide. On dit que f est continue sur [pic] lorsque [pic] est continue. Si f est continue sur D, alors elle est continue sur [pic]. En effet : 1) f est continue (sur D) [pic] 2) f est continue en tout point de [pic] [pic] 3) f est continue sur [pic] [pic] Il est alors évident logiquement que [pic] mais que les réciproques sont fausses en général. [pic] Sur l’exemple : - f n’est pas continue sur le segment [pic] - f n’est pas continue en tout point de [pic] (puisqu’elle ne l’est pas en 1) - [pic] est continue : f est continue sur [pic] Remarque : f continue sur A et f continue sur B [pic] f est continue sur [pic]
Pour éviter toute ambiguïté de langage, ne pas dire f est continue sur [pic], mais plutôt [pic] est continue.
Remarque : Si f est continue sur [pic] et sur [pic] ([pic]), alors f est continue sur [pic] (si f est définie seulement sur [pic]). En effet : • Si [pic], alors f est continue en [pic], car [pic] est un voisinage de [pic] intercepté par le domaine de définition, et f restreinte à ce voisinage de [pic] tend vers [pic] en [pic]. Donc f tend vers [pic] en [pic]. • En b : f est continue à droite et à gauche, donc f est continue en b. • Pour