BTS INFORMATIQUE DE GESTION SESSION 2003

E2 : MATHÉMATIQUES I
Durée : 3 heures Coefficient : 2

ÉPREUVE OBLIGATOIRE

Le (la) candidat (e) doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. L'usage des calculatrices est autorisé. Le formulaire officiel de mathématique est joint au sujet.

EXERCICE N° 1

( 7 points)

Pour cet exercice, on fournira tous les résultats sous leur forme décimale, arrondie à 10 – 3 près. Dans une ville dont la population est très jeune, on sait qu'il y a 39,2 % de mineurs (et par conséquent 60,8 % d’adultes). On considère des échantillons non exhaustifs ( tirage au hasard et avec remise ) de 100 personnes parmi les habitants de cette ville. 1) Soit X la variable aléatoire qui associe, à chaque échantillon de 100 personnes, le nombre d'adultes qu'il contient. a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b) Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de la variable X. 60 c) Calculer la probabilité de l'événement : X = 60 . On prendra C100 ≈ 1,3746 × 10 28 . 2) On approche la variable X par une variable Y suivant une loi normale n ( m , σ ). On précisera la valeur et la signification des paramètres m et σ de Y. 3) Pour la suite de cet exercice, on prendra m = 61 et σ = 4,9. a) On souhaite calculer une valeur approchée de P(X=60), en utilisant la variable aléatoire Y. Pour cela, par correction de continuité, calculer : P(59,5 ≤ Y ≤ 60,5). b) On veut calculer la probabilité pour que l'échantillon contienne au moins 55 adultes. Pour cela, calculer P(Y ≥ 54,5).
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EXERCICE N° 2

( 7 points)

Pour cet exercice, il faudra utiliser l'annexe de l'exercice 2 accompagnant le sujet et rendre cette feuille annexe complétée avec la copie.

Partie A. La courbe ( c ) de la feuille annexe représente, dans un repère orthogonal, la fonction f définie sur R par : f (x) =