EQUATION D’UN CERCLE DANS UN REPÈRE ORTHONORMAL

Une application immédiate du produit scalaire est l’équation du cercle (mais en fait, Pythagore aurait suffi) :
L’équation d’un cercle de centre I et de rayon R (R > 0) est
IM = R où M (x; y) est un point courant sur le cercle.
Comparer deux nombres positifs ou nuls équivaut à comparer leurs carrés, l’équation du cercle s’écrit aussi
IM 2 = R2 ou −−→2
IM = R2(

−−→ −−→ −→
Si I(a; b) et M (x; y), alors IM = OM − OI (Chasles 2) =

x y )

(
−

a b et IM 2 = (x − a)2 + (y − b)2 .
L’équation du cercle s’écrit donc explicitement :

)

(
=

x−a y−b )

(x − a)2 + (y − b)2 = R2
Exemples
1) Equation d’un cercle de centre I(2; −4) et de rayon 5 :
(x − 2)2 + (y + 4)2 = 25 soit x2 − 4x + 4 + y 2 + 8y + 16 − 25 = 0 ou encore x2 + y 2 − 4x + 8y − 5 = 0
2) Caractériser le cercle d’équation x2 + y 2 + 3x + 4y = 0.
Cette équation s’écrit
3
9
(x + )2 − + (y + 2)2 − 4 = 0
2
4 soit 3
25
(x + )2 + (y + 2)2 =
2
4
C’est le cercle de centre I(− 32 ; −2) et de rayon 52 .
On remarquera qu’il passe par l’origine, puisque O(0; 0) vérifie l’équation : 02 + 02 + 3 × 0 + 4 × 0 = 0.
3) On donne deux points A et B distincts. Quel est l’ensemble des points M tels que (AM ) ⊥ (BM ) ?
−−→ −−→
Ecrivons AM .BM = 0 soit
(x − xA )(x − xB ) + (y − yA )(y − yB ) = 0 soit x2 + y 2 − (xA + xB )x − (yA + yB )y + xA xB + yA yB = 0 soit encore xA + xB 2 yA + yB 2 xA + xB 2 yA + yB 2
(x −
) + (y −
) −(
) −(
) + xA xB + yA yB = 0
2
2
2
2 et enfin xA + xB 2 yA + yB 2
1 2
2
2
(x −
) + (y −
) =
(x + x2B + 2xA xB + yA
+ yB
+ 2yA yB − 4xA xB − 4yA yB )
2
2
4 A
1
=
[(xA − xB )2 + (yA − yB )2 ]
4
xA − xB 2 yA − yB 2
= (
) +(
)
2
2
B
B
ceci veut dire que l’ensemble des points M est le cercle de centre I( xA +x
; yA +y
) autrement dit, milieu de [AB],
2
2
AB
et de rayon 2 .
Autrement dit, c’est le cercle de diamètre [AB].
1

EQUATION D’UN CERCLE DANS UN REPÈRE ORTHONORMAL

2

D’ailleurs, vous avez reconnu la configuration suivante, bien connue : « de tout point d’un