equa dif

Pages: 6 (1266 mots) Publié le: 25 août 2014
Equa diff suite

Object 1

Deux cas sont étudiés :
y' = ay et y' = ay + b où a et b sont des constantes réelles données.
Ce sont des cas particuliers d'équations linéaires du 1er ordre. Les solutions sont
respectivement :
y = keax et y = keax -b/a
On étudie ici le cas général. La fonction exponentielle correspondant à y' = y et y(0)
= 1 étant supposée connue, par exemple en tant quefonction réciproque de la
fonction logarithme népérien ou en tant que fonction f, non nulle, dérivable sur R,
telle que f(x + y) = f(x) f(y) et f(0) = (0) :
Les fonctions x a(x), x b(x) et x c(x) étant continues sur un intervalle J de R,
l'équation différentielle linéaire (par rapport à y et y') du premier ordre s'écrit sous la
forme :
a(x).y' + b(x).y = c(x) , x

J

(e)

• Le cas y' = aycorrespond à a(x) = 1, b(x) = - a, c(x) = 0 pour tout x.

et se résout facilement si l'on en connaît une solution particulière. En effet, soit y o
une solution de (e). Par différence et en posant Y = y - yo, on obtient :
a(x).Y' + b(x).Y = 0

(h)

Une telle équation est dite sans second membre ou, parfois, homogène : le second
membre est nul.
Un point important : on peut supposermaintenant que x a(x) ne s'annule pas sur
tout un sous-intervalle J' de J : l'équation ne serait plus différentielle sur J'... Les cas
où a(x) = 0 pour des valeurs isolées de x se traitent en revenant à l'équation initiale :
b(x)y = c(x). Donc, quitte à décomposer J en une réunion finie ou dénombrable
d'intervalles sur lesquels a(x) est non nul, on peut supposer a(x) non nul sur J.
L'équation sanssecond membre (h) peut se résoudre par quadrature car l'on peut
séparer les variables x et Y en écrivant, sous la condition Y(x) non nul en tout point
de J :
Y'/Y = -b(x)/a(x)
Si f(x) désigne une primitive de -b(x)/a(x), on a successivement ln |Y| = f(x) + C, ln
désignant le logarithme népérien . Puis |Y| = ef(x) + C = eCef(x) avec C une constante
arbitraire.
La solution générale de (h)peut donc s'écrire :
Y = k.ef(x)
où f(x) désigne une primitive de -b(x)/a(x) et k une constante arbitraire. La solution
de (e) s'obtient en ajoutant yo :
y = yo + k.ef(x)

La valeur de k sera calculée compte tenu d'un condition initiale : valeur connue de y
ou de y' en un point donné.
La solution Y précédemment trouvée ne s'annule effectivement pas sur J (comme
supposé) si la constante kest choisie non nulle. Mais la question est de savoir si cette
résolution fournit toutes les solutions de (h) ?
En remarquant, avec les notations précédentes, que x ef(x) est effectivement une
solution de (h) ne prenant jamais la valeur 0, on est en droit de poser g(x) = Y/ef(x),
c'est à dire Y = g(x)e f(x) où g désigne une fonction dérivable sur J. En reportant dans (h), et en
simplifiant paref(x), on obtient :
a(x)g'(x) + a(x)g(x) (x) + b(x)g(x) = 0 pour tout x de J
Mais (x) = -b(x)/a(x). Il nous reste donc a(x)g'(x) = 0 pour tout x de J. C'est dire que g'(x) = 0 sur
J, donc que g est constante sur J : la solution de (h) est donc bien Y = k.ef(x)

Équation différentielle à variables séparables :
D'une façon générale, on appelle équation différentielle à variables séparables,une
équation pouvant se ramener à la forme
f(y).y' = g(x)
c'est à dire à l'égalité de deux différentielles : f(y).dy = g(x).dx.
La solution est alors de la forme F(y) = G(x) + C, où F et G désignent respectivement
des primitives de f et g, C étant une constante arbitraire.
Recherche d'une solution particulière de l'équation complète : méthode de la
variation de la constante
On a vu ci-dessusque la résolution de (e) réside dans :
• la recherche d'une primitive de -b(x)/a(x) : résolution de (h);
• la recherche d'une solution particulière yo de (e);

Concernant ce second point, On doit à Laplace une méthode astucieuse si le premier
est résolu, dite de la variation de la constante :
Si Y est solution de (h) et ne s'annule pas sur J, on peut écrire qu'une solution
particulière...
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