Enoncés

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Equations différentielles non linéaires Exercice 4 [ 00434 ] [correction]
Justifier qu’il existe une solution maximale à l’équation différentielle

Etude qualitative

vérifiant y(0) = 0 et que celle-ci est développable en série entière au voisinage de 0.

Exercice 1
Soit

Exercice 5 [ 00435 ] [correction]
On considère l’équation

[ 00430 ]

[correction]
E : y = x2 + y 2

a) Justifier l’existence d’une unique solution maximale y de E vérifiant y(0) = 0.
b) Montrer que y est une fonction impaire.
c) Etudier la monotonie et la concavité de y.
d) Montrer que y est définie sur un intervalle borné de R.
e) Dresser le tableau de variation de y.
Exercice 2 [ 00431 ] [correction]
a) Montrer que le problème de Cauchy

1
y =
1 + xy

y(0) = 0

y = x + y2

E : y = x + y2
a) Quel est le lieu des points où les solutions de (E) présentent une tangente horizontale ?
b) Décrire le lieu des points d’inflexion ?

Exercice 6 X MP [ 02979 ] [correction]
On considère l’équation y = x + y2
Soit y une solution maximale définie sur un intervalle I.
a) Montrer que I est majoré. On pose b = sup I.
b) Montrer que y est croissante au voisinage de b. Quelle est la limite de y en b ?
c) Trouver un équivalent de y au voisinage de b.

possède une solution maximale unique.
b) Montrer que celle-ci est impaire et strictement croissante.
c) Etablir enfin qu’elle est définie sur R.
d) Déterminer la limite en +∞ de cette solution.
e) On note ϕ la bijection réciproque de cette solution. Exprimer ϕ à l’aide d’une intégrale en formant une équation différentielle vérifiée par cette fonction.

Exercice 7 [ 00437 ] [correction]
On considère l’équation différentielle

Exercice 3 [ 00432 ] [correction]
On considère le problème différentiel :

a) Montrer que les solutions sont définies sur des intervalles bornés de R+ .
b) Etudier le comportement d’une solution maximale aux bornes de son intervalle de définition.

E : xy = x + y 2 sur ]0, +∞[