Document créé le 8 février 2014

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Chapitre 19
Espaces préhilbertiens réels
Sommaire
19.1 Produit scalaire, norme et distance . . . . . . . . . . . .
19.1.1 Produit scalaire sur un R espace vectoriel . . . . . . . .
19.1.2 Norme et distance associée . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.2 Orthogonal d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2.3 Algorithme d’orthonormalisation de Schmidt . . . . . .
19.2.4 Calculs dans une base orthonormale . . . . . . . . . . .
19.3 Produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . .
19.3.1 Produit mixte dans un espace euclidien orienté . . . . .
19.3.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.1 Supplémentaire orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.2 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.3 Distance à un sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.5 Hyperplans affines d’un espace euclidien . . . . . . . .
19.5.1 Vecteur normal à un hyperplan d’un espace euclidien . .
19.5.2 Équations d’un hyperplan dans une base orthonormale .
19.5.3 Calcul de la distance à un hyperplan affine . . . . . . .
19.5.4 Orientation d’un hyperplan par un vecteur normal . . .
19.6 Isométries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.1 Isométries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6.2 Symétries vectorielles orthogonales . . . . . . . . . . . .
19.7 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7.1 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7.2 Matrices orthogonales positives ou négatives . . . . . . .
19.7.3 Isométries positives, négatives . . . . . . . . . . . . . . .
19.8 Isométries en dimension 2 . . . . . . . . . .