Est-il raisonnable de croire en dieu?
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Exercices Corrig´s e Applications lin´aires e Exercice 1 – On consid`re l’application lin´aire : e e f : R4 → R2 1) 2) 3) 4) , (x1 , x2 , x3 , x4 ) → (x1 + x2 + x3 + x4 , x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 ) .Quelle est la matrice de f dans les bases canoniques de R2 et R4 ? D´terminer le noyau de f . L’application lin´aire f est-elle injective ? e e Quelle est l’image de f ? L’application f est-elle surjective ? Soit y1 , y2 deux r´els, pr´ciser un vecteur u de R4 tel que f (u) = (y1 , y2 ). e e
Exercice 2 – Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et B = (e1 , e2 , e3 ) une base de E. On consid`re f l’application lin´aire de E vers E telle que : e e f (e1 ) = e1 + e2 + e3 , f (e2 ) = 2e1 − e2 + 2e3 , f (e3 ) = 4e1 + e2 + 4e3 1) Quelle est la matrice A de f dans la base B ? Si u ∈ E a pour coordonn´es (x1 , x2 , x3 ) dans e la base B, quelles sont les coordonn´es de f (u) dans la base B ? e 2) Calculer f (e1 + 2e2 ). 3) D´terminer le noyau et l’image de f . e 4) Ces sous-espaces vectoriels de E sont-ils suppl´mentaires ? e 2 5) Quelle est la matrice de f dans la base B ? En d´duire f 2 (e1 ), f 2 (e2 ),f 2 (e3 ). e Exercice 3 – Soit E un R-espace vectoriel de dimension 2 et B = (e1 , e2 ) une base de E. On consid`re f l’application lin´aire de E vers E de matrice dans la base B : e e M= 1 2 1 2
1) Pr´ciser f (e1 ) et f (e2 ). Soit a un r´el, d´terminer a l’aide de la matrice M le vecteur e e e ` f (ae1 + 17e2 ). 2) D´terminer le noyau et l’image de f . e 3) Soit u = 2e1 − e2 , v = e1 + e2 . Montrer que (u, v) est une base de E. Quelle est la matrice de f dans cette base ? 4) Montrer que ker f et Imf sont des sous-espaces suppl´mentaires de E. e Exercice 4 – Posons e1 = (1, 2) et e2 = (1, 3). 1) Montrer que (e1 , e2 ) est une base de R2 . Soit f ∈ L(R2 ) d´finie par f (e1 ) = 2e2 et f (e2 ) = e1 + 2e2 . e 2) Quelle est la matrice B de f dans la base (e1 , e2 ) ? 3 ) Si u ∈ R2 a pour coordonn´es (X1 , X2 ) dans la base (e1 , e2 ), quelles sont les coordonn´es e e de f