ESTIMATEURS, INTERVALLES DE ` CONFIANCE ET TESTS D’HYPOTHESES

Paul Lescot 05 Mai 2009

1.Estimateurs ˆ Soit θ un param`tre (ou une fonction des param`tres) de la loi d’une variable e e al´atoire X (par exemple l’esp´rance ou la variance), et soit alors X1 ,...,Xn ,... une e e suite de variables al´atoires ind´pendantes et chacune de mˆme loi que X. On e e e ˆa cherche ` estimer θ ` partir d’un ´chantillon empirique. On appelle estimateur de a e ˆ θ une fonction θn = gn (X1 , ..., Xn ) des n premi`res r´alisations de la variable X. e e L’estimateur est dit sans biais si, pour chaque n ≥ 1 : ˆ E(θn ) = θ . Il est dit convergent si : ˆ E((θn − θ)2 ) Par exemple Th´or`me 1.1. La moyenne e e X1 + ... + Xn ¯ Xn = n est un estimateur sans biais et convergent de l’esp´rance E(X). e Th´or`me 1.2. La variance empirique e e s2 = ¯n 1 n−1 n n→+∞

→

0.

¯ (Xi − Xn )2 i=1 (attention au “n − 1”!!) est un estimateur sans biais et convergent de la variance V ar(X) = σ(X)2 .
Typeset by AMS-TEX

1

2

PAUL LESCOT

2.Intervalles de confiance On cherche un “intervalle de confiance au niveau α ”(souvent α = 0, 95 = 95%) ˆ pour θ. Avec les notations du paragraphe pr´c´dent, on se donne α > 0, et on e e d´termine λ tel que e ˆ P (|θn − θ| < λ) ≥ 1 − α . On a alors ˆ P (θ ∈]θn − λ, θn + λ[) ≥ 1 − α . On obtient l’intervalle de confiance ]θn − λ, θn + λ[ en rempla¸ant θn par sa c ˆ valeur θn = gn (x1 , ..., xn ) sur un ´chantillon empirique. λ peut d´pendre de θ, mais e e il est souvent possible de le majorer ind´pendamment de celui–ci. Les deux cas e fondamentaux sont d´crits ci–dessous. e 2.1 Estimation du param`tre p d’une loi binomiale B(1, p). e La variable X vaut 1 avec probabilit´ p est 0 avec probabilit´ 1 − p. On effectue e e n tirages, et on pose r = x1 + ... + xn ; alors un intervalle de confiance pour p au niveau α est donn´ par : e ] Φ−1 ( 1+α ) r Φ−1 ( 1+α ) r √2 , + √2 [. − n n 2 n 2 n

Pour un exemple, cf. le troisi`me exercice du devoir