Estimation

Pages: 21 (4973 mots) Publié le: 22 octobre 2015
Echantillonnage

M2

MODULE 2 : Estimation par intervalle de confiance

Il s’agit dans ce module de trouver une estimation par intervalle de confiance d’un paramètre θ,
c’est-à-dire de construire une « fourchette de valeurs numériques permettant de situer » θ avec
une probabilité 1 − α

1 − α = Pr ob[θ1 < θ < θ 2 ]

La démarche comprend deux étapes :


avant le tirage d’un échantillon de taillen, un estimateur θˆ a été choisi et la loi de



après tirage, la valeur particulière t de θˆ calculée à partir des données de l’échantillon
permet de déterminer les bornes g1( t ) et g2 ( t ) de l’intervalle de confiance recherché.

[

]

probabilité de θˆ permet de construire un intervalle aléatoire noté g1( θˆ ), g2 ( θˆ )
susceptible de contenir la valeur du paramètre θ avec une probabilité1-α fixée a priori ;

Les paramètres inconnus à estimer seront successivement la moyenne, la variance, la
proportion d’une population. Trois autres cas seront considérés : la différence de moyennes, le
rapport de variances et la différence de proportions relatives à deux populations.
Rappel du module 1
Paramètres de la population
La moyenne : m

Estimateurs dans l’échantillon
La moyenne dans unéchantillon :

X : estimateur
x : valeur calculée
La variance : σ2

La variance dans un échantillon :

S2 : estimateur
s 2 : valeur calculée
Sˆ 2 : estimateur sans biais
Sˆ2 =
La proportion : p

n
S2
n −1

La proportion dans un échantillon :
F : estimateur
f : valeur calculée

M2Unité 1 : Principe de l’estimation par intervalle de confiance
Soit θˆ l’estimateur d’un paramètre θ inconnu.

( )

θˆ estune variable aléatoire dont la loi de probabilité notée L(θˆ supposée connue dépend de
θ. Il est possible de trouver deux valeurs particulieres t1(θ) et t2 ( θ) telles que :

[

]

1 − α = Pr ob t1(θ) < θˆ < t 2 (θ)

EchM2.doc

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Echantillonnage

M2

S’il est possible de réécrire le système d’inégalités en isolant θ, on peut déterminer un intervalle
dont les limites dépendent de θˆ et tel que:

[

]

1 − α = Pr ob g1( θˆ ) < θ < g2 ( θˆ )

Ici, l’intervalle qui encadre θ est aléatoire et il possède la propriété de recouvrir la valeur θ dans
1 − α des cas. La prise en compte d’un échantillon particulier, c’est-à-dire d’une valeur
numérique particulière pour θˆ , et donc pour g1( θˆ ) et g2 ( θˆ ) , permet d’obtenir une fourchette qui
a de « grandes » chances de « contenir » la valeurinconnue θ si 1-α est élevé.

[

]
[c1, c 2 ] ou [g1(θˆ ), g2 (θˆ )] est appelé intervalle de confiance,

1 − α = Pr ob g1(θˆ ) < θ < g2 ( θˆ ) = Pr ob[c1 < θ < c 2 ]



c1, c 2 sont les limites de confiance,



1 − α : degré de confiance ou degré de certitude.

Le principe de l’estimation par intervalle de confiance est de proposer
un encadrement d’un paramètre inconnu d’une population dont laloi,
elle, est connue.

α1 + α 2 = α
α1
1-α

α2

La probabilité α se répartit selon les cas soit à droite d’un certain seuil, soit à gauche, soit à
droite et à gauche simultanément.
On parlera :


d’intervalle bilatéral symétrique si : α1 = α 2 = α / 2



d’intervalle bilatéral si α1 ≠ 0 et α 2 ≠ 0 avec α 1 + α 2 = α



d’intervalle unilatéral à gauche si α 2 = 0



d’intervalle unilatéral àdroite si α 1 = 0

Cette démarche appelle trois remarques :


la probabilté 1 − α est fixée conventionnellement a priori. Si 1 − α = 95% , cela signifie
que l’intervalle que l’on est susceptible de construire « tombera à côté » de θ (à droite
ou à gauche) dans 5% des cas. Si 1 − α = 99% , ce risque est moins important, mais
l’intervalle est plus large ;



lorsque l’estimateur θˆ est sans biais,il est naturel de construire un intervalle centré sur
l’estimation ponctuelle obtenue pour θ ;

EchM2.doc

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Echantillonnage



M2

( )

la détermination de la surface correspondant à la probabilité ( 1 − α ) fait intervenir les

paramètres permettant de caractériser la distribution de probabilité L(θˆ . Si cette
distribution est par exemple normale, deux paramètres interviennent : m et...
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