Echantillonnage

M2

MODULE 2 : Estimation par intervalle de confiance

Il s’agit dans ce module de trouver une estimation par intervalle de confiance d’un paramètre θ, c’est-à-dire de construire une « fourchette de valeurs numériques permettant de situer » θ avec une probabilité 1 − α

1 − α = Pr ob[θ1 < θ < θ 2 ]

La démarche comprend deux étapes :
•

avant le tirage d’un échantillon de taille n, un estimateur θˆ a été choisi et la loi de

•

après tirage, la valeur particulière t de θˆ calculée à partir des données de l’échantillon permet de déterminer les bornes g1( t ) et g2 ( t ) de l’intervalle de confiance recherché.

[

]

probabilité de θˆ permet de construire un intervalle aléatoire noté g1( θˆ ), g2 ( θˆ ) susceptible de contenir la valeur du paramètre θ avec une probabilité 1-α fixée a priori ;

Les paramètres inconnus à estimer seront successivement la moyenne, la variance, la proportion d’une population. Trois autres cas seront considérés : la différence de moyennes, le rapport de variances et la différence de proportions relatives à deux populations.
Rappel du module 1
Paramètres de la population
La moyenne : m

Estimateurs dans l’échantillon
La moyenne dans un échantillon :

X : estimateur x : valeur calculée
La variance : σ2

La variance dans un échantillon :

S2 : estimateur s 2 : valeur calculée
Sˆ 2 : estimateur sans biais
Sˆ2 =
La proportion : p

n
S2
n −1

La proportion dans un échantillon :
F : estimateur f : valeur calculée

M2Unité 1 : Principe de l’estimation par intervalle de confiance
Soit θˆ l’estimateur d’un paramètre θ inconnu.

( )

θˆ est une variable aléatoire dont la loi de probabilité notée L(θˆ supposée connue dépend de
θ. Il est possible de trouver deux valeurs particulieres t1(θ) et t2 ( θ) telles que :

[

]

1 − α = Pr ob t1(θ) < θˆ < t 2 (θ)

EchM2.doc

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Echantillonnage

M2

S’il est possible de réécrire le système d’inégalités en isolant θ, on peut déterminer un intervalle dont les limites dépendent de θˆ et tel que