Etude théorique simplifiée de la Clepsydre d’après F. Geniet, LPTA-UM2 http://www.lpta.univ-montp2.fr/users/geniet/ 1. Clepsydre à bords droits
On note S la section de la clepsydre et s la section de l’ajutage.
Le paramètre décrivant l’écoulement est la hauteur de la colonne d’eau H ( t ) dont on veut décrire l’évolution au cours du temps.
a. Relation de conservation de la masse (débit)
Le débit volumétrique d’eau est donné par (1) : Q ( t ) = −S

V ( t ) est la vitesse (moyenne1) de sortie de l’eau.

dH
= sV ( t ) où dt H(t)

b. Conservation de l’énergie pour un fluide idéal non visqueux
(relation de Bernoulli)
Toute l’énergie potentielle gagnée par la descente de l’eau est convertie en
1
énergie cinétique, soit mV 2 ( t ) = mgH ( t ) où m est la masse qui s’écoule
2
entre les instants t et t + dt . On a donc
(2)

V(t)

V ( t ) = 2 gH ( t ) ,

résultat peu intuitif : le flux sortant n’est donc pas proportionnel à la différence de pression mais à la racine de cette différence2.
c. Vérification expérimentale de la loi (2)
V(t)

L’écoulement libre de l’eau est quasiment une chute libre et décrit sensiblement une parabole d’équation H a =

2

1 L g .
2 V2

De (2) on tire L ( t) ) = 2 H a H ( t ) qui donne donc la portée du jet au cours du

Ha
L

temps, résultat facile à tester.
d. Résolution de (1)
On reprend l’équation de départ :

−S

on intègre :

dH ( t ) dt H( t) = −

= sV ( t ) = s 2 gH ( t ) ⇒ s 2g

2S

dH ( t ) dt =−

H '( t ) s 2g s ;
2 gH ( t ) ⇒
=−
S
2S
2 H( t)

t + K ; à t = 0 on a H ( 0 ) = H0 d’où K =

 s g
H ( t ) = H0  1 −

S 2 H0


H0 et finalement

2

 t .



1 Il n‘est pas évident que la vitesse instantanée soit uniforme…
2 On se trouve en régime inertiel et pas dissipatif ; pour obtenir un régime dissipatif (écoulement type Poiseuille) il faut

augmenter la viscosité et diminuer la section du tube de manière à diminuer le nombre de