Analyse combinatoire
Math´matiques G´n´rales B e e e Universit´ de Gen`ve e e Sylvain Sardy 6 mars 2008

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Le but de l’analyse combinatoire (techniques de d´nombrement) est d’ape prendre ` compter le nombre d’´l´ments d’un ensemble fini de grande cardinalit´. a ee e Notation : la cardinalit´ d’un ensemble Ω, not´e card(Ω) = |Ω| = #Ω, est le e e nombre d’´l´ments contenus dans l’ensemble Ω. ee

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1. Principe de multiplication
Permet de compter le nombre de r´sultats d’exp´riences qui peuvent se e e d´composer en une succession de sous-exp´riences. e e Principe : suppose qu’une exp´rience est la succession de m sous-exp´riences. e e Si la i`me exp´rience a ni r´sultats possibles pour i = 1, . . . , n, alors le nombre e e e total de r´sultats possibles de l’exp´rience globale est e e n = Πm ni = n1n2 . . . nm. i=1

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Exemple : Vous achetez une valise ` code 4 chiffres. Combien de possibilit´s a e avez-vous de choisir un code ? R´ponse : m = 4 avec n1 = 10, n2 = 10, n3 = 10, n4 = 10, donc le nombre e total de code possible est 10 · 10 · 10 · 10 = 104.

Exemple : les plaques min´ralogiques aux U.S.A. sont form´es de 3 lettres, e e suivies de 3 chiffres. – Quel est le nombre de plaques min´ralogiques possibles ? e – Quel est le nombre de plaques qui commencent par la lettre U ?

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2. Permutations
D´finition : une permutation de n ´l´ments distincts e1, . . . , en est un e ee r´arrangement ordonn´, sans r´p´tition de ces n ´l´ments. e e e e ee Exemple : ”a”, ”b” et ”c” sont trois ´l´ments. Les arrangements possibles ee sont abc, acb, bac, bca, cab, cba. Le nombre d’arrangements est donc 6. Notation : La fonction ‘factorielle’ est la fonction de domaine N = {0, 1, 2, . . .} qui a tout n ∈ N associe n! = n · (n − 1) · . . . · 3 · 2 · 1. Ainsi 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, . . ., 10! = 3 628 800.
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Le nombre de permutations de n ´l´ments distincts