XI- Division euclidienne, pgcd et algorithme d’Euclide
L’arithmétique consiste à travailler exclusivement avec des nombres entiers. Quand on additionne deux nombres entiers, on obtient un nombre entier, et de même en soustraction. Quand on multiplie deux nombres entiers, on trouve encore un nombre entier. Mais quand on divise ? En général, la division ne tombe pas juste, et le résultat n’est pas un nombre entier. On sait que diviser, c’est multiplier par l’inverse. Mais l’inverse d’un nombre entier n’est pas un entier, en général. Prenons 3, son inverse est
-1
1/3 qui n’est pas un entier. Cela signifie qu’on ne peut pas trouver un entier 3 tel que
-1
3.3 =1. En fait les seuls nombres entiers ayant un inverse entier sont 1 et –1, qui ont pour inverses eux-mêmes. On est dans un contexte très différent de celui des nombres réels ou des nombres rationnels, qui eux, à part 0, ont toujours un inverse. Toute l’arithmétique tourne autour de cet écueil propre aux nombres entiers, à savoir le problème de la division.

1- Division euclidienne
Il s’agit de la division la plus simple, celle où n’interviennent que des nombres entiers (pas de nombres à virgule). Donnons-nous deux nombres entiers positifs a et b.
La division de a par b donne un quotient q et un reste r. On appelle a le dividende et b le diviseur. Mais qui sont q et r ? Par définition q est le plus grand nombre de fois que l’on peut mettre b dans a, et le résidu est le reste r. Par exemple quand on divise 14 par 3, on peut mettre au maximum 4 fois le 3 dans 14, d’où q=4 et r=2.

Ainsi définis, le quotient q est unique, ainsi que le reste r, et ce dernier est forcément inférieur à b : 0 ≤ r < b .
On peut écrire a = bq +r avec 0 ≤ r < b . Avec a et b donnés, cette équation ayant pour inconnues (des entiers positifs ou nuls) q et r, avec en plus la contrainte pour r d’être inférieur à b, admet une solution unique.
Autrement dit, une division euclidienne est fausse si l’on prend un