CONIQUES
Madame, voulez-vous être le cercle dont je serais le centre, la parabole dont je serais le foyer, l’ellipse dont je serais la directrice,
L’hyperbole dont je serais l’asymptote ?
En un mot, voulez-vous de moi pour époux ? (CHRISTOPHE)

Exercice:1
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les courbes :
P1 : y² = 8 x, P2 : x² = 4 y , P3 : y² = - 6 x
P4 :

z  iz  1
=z-2 (1+i)

2

P5: y² + 2y - 6x +10 = 0,
P6 : x² - 4x + 2y - 2 = 0;
Reconnaître la nature et caractériser chacune de ces courbes.
Exercice 3 :
Soit OAB un triangle isocèle et rectangle en O tel que AB =4.
On note I le milieu de [AB] et F le point défini par :
OF =

1
OI
4

Soit P la parabole de foyer F et de sommet O.
On munit le plan du repère orthonormé
R(O, i , j ) tel que i =

4ème Maths

1
OI
2

1)a)Mque dans R, P a pour équation : y² = 2x
b)Déterminer les coordonnées du point A ; En déduire que P passe par A et B
c)La tangente à P en A coupe (OI) en un point J.
Montrer que O est le milieu de [IJ].
2) Soit M(x1, y1) un point de P distinct de O.
La perpendiculaire à (OM) en O recoupe P en un point N(x2, y2).
On pose que (MN) d’équation : x = ay+b.
a)Montrer que y1 et y2 sont les solutions de l’équation : y² - 2ay -2b = 0.
b) En remarquant que OM . ON =0, montrer que b=2.
c)En déduire que lorsque M varie sur P, (MN) passe par un point fixe.
Exercice 4:
Le plan est muni d’un repère orthonormé
( O, i , j )
1/ Soit ( P0 ) la parabole d’équation : y²= 4x - 4

2013/2014

a- Déterminer le foyer et la directrice de ( P0 ) puis tracer (P0 ). b- Calculer l’aire de la partie du plan limitée par la parabole (P0 ) et la droite d’équation x = 3.
2/ Soit F(a,b) un point du plan tels que a > 0 et soit (P) la parabole de foyer F et de directrice la droite des ordonnées. a- Prouver qu’une équation de (P) est :
( y – b)² = 2ax – a² b- Montrer que (P) passe par le point A(1,0) si et seulement si F appartient au