D´partement LSO - DUGEAD 2 e

UE 44 - Stats II Ann´e 2009-2010 e

Examen. 01-02-10
Dur´e : 2h e • Calculatrices non-programmables autoris´es. T´l´phones portables interdits e ee • Vous trouverez ` la fin de l’´nonc´ une s´rie de valeurs num´riques utiles pour faire les applicaa e e e e tions num´riques . Toutes les applications num´riques seront faites avec 3 chiffres apr`s la virgule. e e e • Les trois parties sont compl`tement ind´pendantes. e e • Barˆme indicatif : e

Dans ce probl`me, on s’int´resse au trafic sur la ligne de RER A. Lors d’un conflit social, la RATP e e annonce en moyenne 2 trains par heure. Une association d’usagers du RER A pense que la r´alit´ e e est significativement diff´rente de cette annonce et d´cide de v´rifier cette affirmation dans deux e e e gares diff´rentes par deux m´thodes diff´rentes. Pour cela, dans la gare de Nanterre-Universit´, elle e e e e rel`ve pendant 81 heures le nombre de trains passant chaque heure. En gare de Fontenay-sous-Bois e un membre de l’association d´cide de noter les temps d’attente entre 2 trains cons´cutifs (pour 81 e e trains).

Partie 1 : Nombres de trains par heure en gare de Nanterre-Universit´ e
Dans cette partie, on s’int´resse au nombre de trains par heure circulant sur cette ligne. e Soit Xi le nombre de trains passant pendant la i-`me heure dans la gare Nanterre-Universit´ e e (i = 1 . . . n). On suppose que les Xi sont ind´pendantes et identiquement distribu´es de loi de e e Poisson de param`tre λ i.e. ∀x ∈ N, e P (Xi = x) = e−λ λx x!

On rappelle que si X ∼ P(λ) alors E[X] = λ et V [X] = λ. On note x1 , . . . , xn les observations obtenues par l’association d’usagers. 1. Montrer que la vraisemblance des observations x1 , . . . , xn vaut : L(x1 , . . . , xn ; λ) = e−nλ λ
Pn
i=1

2. En d´duire que l’estimateur du maximum de vraisemblance de λ not´ Wn est X n e e

xi ￿

1 n i=1 xi !

3. Calculer le biais et la variance de cet estimateur. 4. Montrer la convergence en probabilit´ de Wn