Exemple d'exercice de mécanique

Pages: 2 (369 mots) Publié le: 25 juillet 2014
Exemple d’exercice

Application - Projectile dans un champ de pesanteur uniforme

Un projectile est lancé à la date t0 = 0 avec une vitesse initiale v 0
 
faisant un angle  avecl’horizontale. Le repère d'étude (O, e1 , e2 , 

e3 ) est tel que l'origine O coïncide avec la position du centre g
 
d'inertie G du solide à la date t0. Le plan (O, e1 , e2 ) contient le

vecteur v 0 .Les frottements peuvent être négligés.

y


v0


e2


e3


o


e1

x

z



Le champ de pesanteur g est équivalent à une accélération a :

 0  vx 
   

- g   v y 
 0  v 
   z 

On peut résoudre analytiquement ces trois équations différentielles et obtenir les équations
paramétriques de la vitesse :

vx  A
v y  g.t  B
vz  CA, B et C sont des constantes qui dépendent des conditions initiales (à la date t0 = 0) :

v x 0  v 0 . cos 
v y 0  v 0 . sin
vz 0  0



A  v 0 . cos 
B  v 0 . sin
C0



vx  v 0 . cos 
v y  g.t  v 0 . sin
vz  0

On peut résoudre analytiquement ces trois nouvelles équations différentielles et obtenir les équations
paramétriques du mouvement :
x  v 0 . cos( ).t  A'
1
y   g.t 2  v 0 . sin ( ).t  B'
2
z  C'

A’, B’ et C’ sont des constantes qui dépendent des conditions initiales. A la date t 0 = 0, les
coordonnées sont nulles :
x  v 0 .cos ( ).t
1

y   g.t 2  v 0 . sin ( ).t
2
z0
 
A tout instant la coordonnée z est nulle : le mouvement s'effectue dans le plan (O, e1 , e2 ).
x0  0  v 0 . cos ( ).t 0  A'
1 2
y0  0   g.t 0  v 0 . sin ( ).t 0  B'
2
z0  0  C '

1

Exemple d’exercice

x  v 0 . cos ( ).t

Equation de la trajectoire :



t

x
v 0 . cos 

 v . sin 
1
x2
1
g2
y g 2
 0
2
 v . cos   x  - 2 v 2 . cos2  x  tan ( ).x

2 v 0 . cos   0
0

Influence de la valeur de la vitesse initiale v0 sur la trajectoire du projectile
y
v0 1 <...
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