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THEOREME DE THALESEmilien Suquet, suquet@automaths.com
I Le théorème de Thalès ?
Thalès est un mathématicien grec qui aurait vécu au VIème siècle avant Jésus Christ. Nous ne le connaissons qu’à travers les écrits de Sophocle, de Pappus et d’autres. On peut en fait seulement lui attribuer les quatre résultats mathématiques suivants :
Le diamètre d’un cercle coupe ce même cercle en deux parties de même aire.
Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.
Si un triangle est inscrit dans un cercle tel que l’un de ses côtés soit le diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle.
Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de la même mesure.
A la fin du 19ème siècle, une épreuve d’histoire des mathématiques avait été introduite dans les épreuves de recrutement des professeurs de mathématiques. Il était donc de bon goût à cette époque d’associer à chaque théorème son auteur. Le théorème ci-dessous a été trop rapidement attribué à Thalès mais néanmoins on a conservé par habitude cette dénomination. Il serait plus sage de nommer le théorème suivant « théorème en hommage à Thalès » :
Configuration : ABC un triangle avec M un point de (AB) et N un point de (AC).
AM AN MN
Si (BC) et (MN) sont parallèles alors
=
=
(et A,M et B alignés dans le même ordre que A,N et C)
AB AC BC
Remarques :
On peut donc utiliser le théorème de Thalès dans les trois configurations suivantes :
A
M
N
A
M
N
A
C
B
C
B
configuration 4ème
B
C
N
M
configuration dite « papillon »
Dans le cas où M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC] on se retrouve dans la configuration de la réciproque du théorème de la droite des milieux.
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II Démonstration du théorème par Euler
Le théorème de Thalès devrait plutôt être attribué à Euclide, qui au IIIème siècle avant JC, en donna la première démonstration. Voici, en écriture moderne, un extrait de cette démonstration.