Cours de mathématiques
Classe de Quatrième

L ES D ROITES

DU TRIANGLE

DÉMONSTRATION DE LA PROPRIÉTÉ DES HAUTEURS D’UN TRIANGLE ............. 2
DÉMONSTRATION DE LA PROPRIÉTÉ DES MÉDIANES D’UN TRIANGLE ............. 3
DÉMONSTRATION DE LA PROPRIÉTÉ DES BISSECTRICES D’UN TRIANGLE ......... 4
DROITES DU TRIANGLE ........................................................ 5

Droites du triangle

Page 1

Cours de mathématiques

DEMONSTRATION

Classe de Quatrième

DE LA PROPRIETE DES

HAUTEURS D ’ U N T R I A N G L E

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Figure et données :
Données :
♦ ABC triangle
♦ (DF) // (BC)
♦ (EF) // (AB)
♦ (DE) // (AC)
♦ (BH), est une hauteur du triangle ABC.

1. Montrons que B est le milieu de [DE]
BECA et DBCA sont des parallélogrammes car ils ont leurs côtés parallèles deux à deux.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Donc
(BD) et (BE) sont parallèles à la même droite (AC) ; les points B, D et E sont alignés.
De plus, les longueurs BD et BE sont égales car elles sont toutes les deux égales à la même longueur AC.
Conclusion : B est le milieu de [DE]
2. Montrons que (BH) est la médiatrice de [DE]
B est le milieu de [DE] , et par construction , (BH) ⊥ (AC) ; or (AC) // (DE) donc (BH) est perpendiculaire à [DE] en son milieu. C’est donc la médiatrice de [DE]
De la même manière, on montre que les deux autres hauteurs dans ABC sont les deux autres médiatrices dans DEF. Le raisonnement est tout à fait analogue.
3. Conclusion : les trois hauteurs du triangle ABC sont les trois médiatrices de DEF.
Or on sait que les trois médiatrices dans un triangle sont concourantes. Donc les trois hauteurs le sont aussi.

Page 2

Droites du triangle

Cours de mathématiques

DEMONSTRATION

Classe de Quatrième

DE LA PROPRIETE DES

MEDIANES D ’ U N T R I A N G L E

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
Le point de concours (que