Suites et séries de fonctions
Suites de fonctions
Exercice 1 [ 00868 ] [correction]
Etablir que la limite simple d’une suite de fonctions de I vers R convexes est convexe. Exercice 2 [ 00885 ] [correction]
Soient (fn) une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonction f et g une fonction uniformément continue. Montrer que (g  fn) converge uniformément. Exercice 3 [ 00884 ] [correction]
Soient (fn) et (gn) deux suites de fonctions convergeant uniformément vers des fonctions f et g supposées bornées. Montrer que (fngn) converge uniformément vers fg.
Exercice 4 [ 00878 ] [correction]
Soit (fn) une suite de fonctions réelles continues et définies sur [a, b]. On suppose que fn converge uniformément vers une fonction f.
Montrer que inf
[a,b]
fn ! inf
[a,b]
f.
Exercice 5 [ 00879 ] [correction]
On suppose qu’une suite de fonctions (fn) de [a, b] vers R converge uniformément vers f : [a, b] ! R continue et on considère une suite (xn) d’éléments de [a, b] convergeant vers x. Montrer fn(xn) ! f(x)
Exercice 6 [ 00886 ] [correction]
Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions uniformément continues d’un intervalle I de R vers R est elle-même une fonction uniformément continue.
Exercice 7 [ 00880 ] [correction]
Soit fn : [0, 1] ! R continue. On suppose que (fn) converge uniformément sur
[0, 1[.
Montrer que la suite (fn) convergence uniformément sur [0, 1].
Exercice 8 X MP [ 02969 ] [correction]
Soit I un intervalle ouvert ; soit pour n 2 N, fn : I ! R une fonction convexe. On suppose que (fn) converge simplement. Montrer que (fn) converge uniformément sur tout segment inclus dans I.
Exercice 9 [ 00888 ] [correction]
Soit fn : [0, 1] ! R décroissante et continue telle que (fn) converge simplement vers la fonction nulle.
Montrer que cette convergence est uniforme.
Exercice 10 [ 00889 ] [correction]
[Théorème de Dini]
Soient des fonctions fn : [a, b] ! R continues telles que la suite de fonctions (fn)
converge