Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ
Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables
Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I.
Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en a alors :
1. ¦ + g est dérivable en a.
2. ¦g est dérivable en a
3. Si g est non nulle au voisinage de a alors 1 g est dérivable en a.
Exercice 2 Dérivation d'une composition de fonctions dérivables
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I).
Démontrer que la fonction v o u est dérivable sur I et pour tout x Î I :
(v o u)'(x) = u'(x) v'(u(x))
Exercice 3 Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue
Considérons la fonction ¦ définie sur  par :
¦(x) = x2 sin 1 x æ ö ç ÷ è ø si x ¹ 0 et ¦(0) = 0
Montrer que :
1. ¦ est continue en 0.
2. ¦ est dérivable en 0.
3. ¦' n'est pas continue en 0.
Exercice 4 Un petit théorème de point fixe
Soit ¦ une fonction continue et définie sur l'intervalle [0 ; 1] et à valeurs dans l'intervalle [0 ; 1].
Démontrer que ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1].
Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée
Démontrer que l'équation x4 + x3 - x + 1 = 0 n'a pas de solutions sur .
Exercice 6 Une limite classique
On rappelle que lim t®0 sin(t) t = 1. Soit n Î .
Étudier la limite suivante : lim t®0 sin( ) sin( ) nt t
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Exercice 7 Étude d'une fonction irrationnelle
On considère la fonction ¦ définie sur  par :
¦(x) = x2 + x + 1 - x
On note C¦ sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O ; r r i,j )
1. Étudier les limites de ¦ en -¥ et en +¥. La courbe C¦ admet-elle des asymptotes horizontales ?